第二章　点、直线和平面的投影.docVIP

第2章 点、直线和平面的投影 2.1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法的基本概念 日常生活中我们经常遇到投影现象，例如人在日光的照射下，地面上就会留下影子。人们根据这一自然现象，经过科学的抽象，弄清了影子与物体间的几何关系，建立了一种实用的、用投影图表达空间物体的方法——投影法。 投影法是由投影中心发出的投射线通过物体，向选定的投影面进行投影，并在投影面上得到图形的方法。根据投影法所得到的图形，称为投影图，简称投影。 如图2-1所示，光源S称为投射中心，由光源S所发出的光线SA、SB、SC称为投射线，所选定的平面P称为投影面，abc称为ABC的投影。 图2-1中心投影法2.1.2 投影法的分类 投影法通常分为中心投影法和平行投影法两种。 1．中心投影法 投射线汇交于一点(投影中心)的投影法，称为中心投影法，如图2-1所示。用中心投影法所得到的投影，称为中心投影，也称透视投影。 中心投影的大小随着投影中心、物体和投影面之间的相对位置变化而变化，一般不能反映物体的实际大小和真实形状，但由于它的立体感较强，所以常应用于建筑、桥梁等的外形设计中。 2．平行投影法 投射线相互平行(将投影中心移到无穷远处，投影线趋于平行)的投影法，称为平行投影法，如图2-2所示。 在平行投影中，根据投射线与投影面的倾角不同，又分为斜投影和正投影。 (1)斜投影 即投射线与投影面倾斜的平行投影法，如图2-2a所示。 (2)正投影 即投射线与投影面垂直的平行投影法，如图2-2b所示。 在平行投影法中，正投影图能反映物体在投射方向上的真实形状，且大小与物体到投影面的距离无关，因此，工程制图中主要使用这种投影方法。为叙述方便，在后续章节中，将“正投影”简称为“投影”。 图2-2 平行投影法 a)斜投影 b)正投影2.2 点的投影 研究投影的目的是为了用投影图来表达空间物体的形状，而实际上任何物体均可视为由点、线、面三种几何要素构成，研究几何要素的投影，是为了以后更方便地研究物体的投影。 如图2-3a所示，空间一点A在投影面上有确定的投影a，反之，投射面上的投影a却可以对应投射线上的任意点A1、A2、A3???，如图2-3b所示，这就说明点的一面投影不能唯一确定该点的空间位置，需要建立多面投影体系来表达。 图2-3 点的一面投影与该点的空间位置2.2.1 点的两面投影 1．两投影面体系的建立 两投影面体系由两个相互垂直的投影面组成，分别为：正立投影面V(简称正面)和水平投影面H(简称水平面)两投影面之间的交线OX，称为投影轴两个投影面把空间分为四个区域，前上方区域称为第一分角，依次有第二、三、四分角，如图2-4所示。国家标准规定，绘制图样时，应以采用正投影法为主，并采用第一角画法，因此本书只介绍物体在第一分角的投影。 图2-4 两投影面体系的四个分角2．点在两投影面体系中的投影 在如图2-5所示的两投影面体系中，过空间一点A用正投影的方法，分别向H面和V面作投影，得到点A的水平投影a和正面投影a′。为了把两个投影a和a′画在同一平面上，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90o，使之与V面处于同一平面上，见图2-5a。展开后的投影图如图2-5b所示。由于平面是无限的，为了便于作图，通常在投影图上省略投影面的边框和投影面的标记H、V，图2-5c即为点A的两面投影图。 图2-5 点的两面投影图的形成3．点的两面投影规律 1)点的两面投影的连线垂直于OX轴，即aa′OX。 因为投射线Aa和Aa′ 构成了一个矩形平面AaaXa′，如图2-5a所示。它垂直于H面和V面，也必然垂直于H面和V面的交线OX，所以平面上AaaXa′的直线aaX和a′aX必垂直于OX，即aaXOX和a′aXOX。当a随着H面旋转和V面重合在一个平面上时，aaXOX的这种垂直关系不变，因此投影图上的a、aX、a′三点在同一条直线上，且aa′OX。 2)点的正面投影到OX轴的距离反映A点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离，即aaX＝Aa′ 和a′aX＝Aa。 因为AaaXa′是一矩形，所以满足aaX＝Aa′ 和a′aX＝Aa。 2.2.2 点的三面投影 1．三投影面体系的建立 三投影面体系是在两投影面体系的基础上建立的。在两投影面体系中，再加一个同时垂直于H、V的侧立投影面，简称侧面，用W表示，如图2-6所示，这三个相互垂直的投影面组成的体系称为三投影面体系。H面与V面之间的交线为OX轴，简称X轴；H面与W面之间的交线为OY轴，简称Y轴；V面与W面之间的交线为OZ轴，简称Z轴；三个坐标轴的交点O称原点。 图2-6 三投影面体系 2．点在三投影面体系中的投影 过A点同时向三个投影面作垂线，分别得到点的三面投影a、a′、a