第七讲 完备市场理论.docVIP

第7讲 完备市场理论 Arrow-Debreu证券和完备市场 记号： 资产i：当前价格；期末价格； 状态依存价格矩阵： 收益率矩阵 Arrow-Debreu证券和可保险状态 定义 6.1：若存在一个资产组合的状态依存收益为 则称其为对应状态的Arrow-Debreu证券(A-D证券)，称状态为可保险的（Insurable state）；而组合的投资成本为状态的状态价格。 回忆第3章定义：，或 定理 6.1：将的行向量记为，则状态可保险的充分必要条件是： 与 线性无关。 【证明】必要性：用反证法。假设是对应于状态的A-D证券，满足，这意味着： 若存在常数，使得 上式两边同乘以，得到 但由假设上式左端为1，右端等于零，矛盾。 充分性：若与中其他行向量线性无关，则 这就是说，可以写为中各列向量的线性组合：存在，使得 ▋ 完备市场及其S基金分解 定义 6.2：如果对任何未来状态，都存在组合，使得 则称经济是一个完备市场（complete market），否则称为不完备的。 市场完备＝经济中存在只收益收益率线性无关的资产 如果市场是完备的，每一种普通证券的收益都可以通过A-D证券复合而得： 这称为完备市场的S基金分解。相应地，普通资产的定价公式： 完备市场中的帕累托效率 经济效率：商品经济与金融经济差别 在确定性的消费经济模型中，经济个体的偏好总是定义在现存的商品集上，所以福利经济学第一定理断言竞争均衡总是导致帕累托有效。 在不确定性经济中，个体的偏好是定义在未来各种可能状态下的收益上的，而市场中存在的金融资产可能不足以让个体将其未来收益调整到其最优的水平，此时帕累托有效条件就无法实现。＝＝完备市场为经济中的个体提供了所有可能状态之间的财富交换机会，在完全竞争均衡中经济将达到帕累托有效状态。 帕累托有效条件 考虑一个单期投资－消费经济。个体在时刻的消费量记为，时刻能消费的财富为。 记个体的初始禀赋为。任何一种可行的配置，必然要满足以下的禀赋约束： 如果自然在时刻实现的状态是，个体获得的消费效用为；期望效用函数是 帕累托有效配置问题： L函数： FOC： 由于是凹函数，上述必要条件同时还是充分条件。综合各式得： all s, k A-D证券世界 假设存在所有种可能状态的A-D证券。个体面临的问题是： 一阶必要条件整理后可得 ＝经济达到了帕累托有效。 普通证券的交换 经济中不存在直接的A-D证券买卖，个体只能投资于种收益线性无关的普通证券。记为个体的投资组合，期末获得的状态依存收益为： 从而，个体的组合投资问题是： FOC： 整理后得： 记，上述个等式的矩阵形式： 两边左乘一个，得到： 与（6.10）比较，此时的帕累托效率得到了保证。 实际完备市场 在不完备市场中，矩阵的秩小于，线性方程组（6.17）的解不是唯一的：如果经济中收益不相关的证券数量小于可能的自然状态数S，均衡时不同个体的边际替代率可能是不相同的，帕累托有效条件不能保证。 不过，即使是，也不能断言均衡时一定存在资源配置效率损失。 定义 6.3：如果，但经济均衡达到了帕累托有效，称这样的市场是实际完备的（efficiently complete）。 查看教材上例子 时间可加效用函数和一致的信念 时间可加效用函数 期望效用： 帕累托最优分配法则（Pareto optimal sharing rules）：个体消费量与社会总消费量的严格单增函数关系 定理 6.2：假设个体的效用函数如(6.19)，并且经济中所有个体对未来不确定世界有相同的信念： 那么在任何一个帕累托有效配置中，必然存在与未来状态s无关的严格单增函数,使得 其中是所有个体在状态s下的消费总量。 【】 令，这四个式子又可以简写为： 欲证明：如果，必然有。事实上，当时，至少存在一个个体，满足；因为是严格凹函数，其一阶导数是严格单减函数，从而（注意） 由(6.28)，对任意个体，都有 而是严格凹函数，其一阶导数是严格单减函数，故有成立。 ▋ 亚状态 推论 6.1：（1）在定理6.2成立的条件下，所有个体在未来各状态下消费间的大小顺序相同，并且与社会总消费的大小顺序一致； （2）若存在，，则对任何个体都必然有，并且 【证明】只需证明最后一个推断（6.29）。根据帕累托有效条件（6.10）， 由条件， ▋ 因此，消费者没有必要区分社会总消费相等的那些状态。将原来的状态集合中所有总消费相等的状态一一合并为一个个亚状态（mega state）： 相应地定义个体的信念及（亚