复数域和实数域上的二次型教学目.docVIP

9.2 复 数 域 和 实 数 域 上 的 二 次 型 教 学 目 的: 1. 掌握二次型的标准型和典范型的概念及其性质; 2. 熟练掌握化二次型为平方型的学用方法. 教 学 内 容: 复数域和实数域上的二次型 定理9.2.1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩．两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩． 证　显然只要证明第一个论断． 条件的必要性是明显的．我们只证条件的充分性．设Ａ，Ｂ是复数域上两用人才个n阶对称矩阵，且Ａ与Ｂ有相同的秩r．由定理9.1.2,分别存在复可逆矩阵P和Q，使得 　　　　　　　　　　　 P＇ＡＰ＝　　，　　　　　 Ｑ＇ＢＱ＝。 当r＞0时，c (0，d(0,I=1,2,……,r.取n阶复数矩阵 S=， T=. 这里,分别表示复数C和d的一个平方根。那么S＇＝Ｓ，Ｔ＇＝Ｔ，而 Ｓ＇Ｐ＇ＡＰＳ＝Ｔ＇Ｑ＇ＢＱＴ＝． 因此，矩阵Ａ，Ｂ都与矩阵合同，所以Ａ与Ｂ合同． 定理9.2.2 实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵： （1） ， 这里r等于A的秩。 证 由定理9.1.2,存在实可逆矩阵P使得 Ｐ＇ＡＰ＝． 如果r＞0,必要时交换两列和两行（这相当于右乘以P，左乘以P＇），我们总可以假定c,…..,c0,c,…,c0,0《p《r.取 Ｔ＝， 那么 T＇Ｐ＇ＡＰＴ＝ 与定理９.２.２.平行,我们有 定理 9.2.3. 实数域上每一n元二次型都与如下形式的 一个二次型等价: X12+…+XP2—XP+12--…--Xr2, 这里r 是所给二次型的秩。 定理9.2.4 （惯性定理）设实数域R上一个n元二次型等等价于两个典范形式 （2）x21+…+x2p-x2p+1-…-x2r, （3）y21+…+y2p’-y2p’+1-…-y2r 那么p=p’. 证明： 设f是R上n 维向量空间V的一个双线性函数，q是与它关联的二次函数。设{ }和{}是V的两个基，而q 关于这两个基的表达式分别是（2）和（3）。那么f关于这两个基分别是 A=和B= 于是 f(i, j)= f()= 假设p≠p’.不妨设pp’.令 W1=L((，(，((p) W2=() 设ξw1 w2，如果ξ≠0,那么一方面，ξW1，从而ξ= ，且i,不全为零因而 q(ξ)=f(ξ,ξ)=2i0 另一方面，ξ,从而ξ=,因而 q(ξ)=f(ξ,ξ)= 2i≤0 这不可能。因此必须W1 W2={0},所以W1+W2直和，于是由定理6.4.6 dim(W1+W2)=dimW1+dimW2 =p+n-p’n 然而W1+W2是V的子空间，它的维数不可能大于是n，这就导致矛盾。 由这个定理，实数域上每一个二次型q(x1,x2,…xn)都与唯一的典范型式（1）等价。在（1）中，正平方面项的个数p叫做所给二次型的惯性指标。正项的个数p与负项的个数r-p的差s=p-(r-p)=2p-r叫做所给的二次型的符号差，一个实二次型的秩，惯性指标和符号差都是唯一确定的. 定理9.2.5 实数域上两个n元二次型等价的充分且必要的条件是它们有相同的秩和符号差. 证: 设q1(x1,x2,…xn)和q2(x1,x2,…xn)是实数域上的两个n元二次.令A1和A2分别是它们的矩阵.那么由定理9.2.2,存在实可逆矩阵P,使得: P’AP=. 如果q2与q1等价,那么A1和A1,于是存在实可逆矩阵Q使得A2=Q’A1Q.取T=Q-1P。那么 T＇A2T=P’Q’-1Q’A1QQ-1P=P’A1P 因此q2和q1都与同一个典范形式等价,所以它们有相同的秩和符号差. 反过来,如果q1,q2有相同的秩r和符号差s,那么它们也有相同的惯性指标p=(r+s).因此A1和A2都与矩阵 合同,由此推出A2与A1合同,从而q2与q1等价. 推论9.2.6 实数域R上一切n元型可以分成(n+1)(n+2)类,属于同一类的二次型互不等价. 证:给定0≤r≤n和0≤p≤r.令 Cr,p= 由定理9.2.4,R上每一n元二次型恰与一个以Cr,p为矩阵的典范形式等价.当r取定后,p可以取0,2,…，r，而r又可以取0，1，…，n中任何一个数。因此这样的Cr,p共有 1+2+…+（n+1）(n+1)(n+2) 个，对于每一个Cr,p，就有一个典范形式 x21+…+x2p-x2p+1-…-x2r, 与它相当。把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是R上一节n元二次型恰可分成(n+1)(n+2)类，属于同一类的二型彼此竺价，属于不同类的二次型互不等价。