向量是数形结合的天然桥.docVIP

、向量是数形结合的天然桥 向量具有代数和几何的双重身份。向量的几何表示即用有向线段表示、向量加法的三角形运算法则等等都是运用几何性质解决向量问题的基础。而向量的坐标表示、坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，因此数形结合是学好向量的重要思想方法。在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，可以给抽象运算以直观的解释，显得简捷方便。 1）向量在平面几何中的应用举例 首先，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。其次，通过向量的运算，特别是数量积运算研究几何元素之间的关系，如：距离、角度关系。最后，将运算结果“翻译”成几何关系。 例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC中C=900，求证： 证明：因为ACBC所以??????? ??? 又，两边平方得： ??? 即 （2）向量在解析几何中的应用举例 在解决解析几何问题中主要利用向量求直线方程。这个向量可以是直线（与直线方向平行的向量），也可以是直线的法向量（与直线方向垂直的向量 用向量间的关系（共线或垂直）建立直线方程。 例2（2000年全国高考题）椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。 解：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin） 为钝角 ? ?????? =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－10 ???? 解得：? ∴点P横坐标的取值范围是（） （3）向量在立体几何中的应用举例 在人教B版高中数学教材选修2-1空间向量与立体几何系列中有详细介，在此笔者就不详细说明了。 例3（05江西 理）如图4，在长方体中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。 ? （）证明：； ? （）当E为AB的中点时，求点E到面的距离； ? （）AE等于何值时，二面角的大小为。 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，。 ? （）证明：由，， ，有，于是。 ? （）E是AB的中点，得。 ，，。 ? 设平面的法向量为，单位法向量为， 由，解得。 ? 于是，有。 设点E到平面的距离为，则。 ? 所以点E到平面的距离为。 ? （）平面的法向量，设平面的法向量。 又，。 ?由，得 ，解得，于是。 设所求的二面角为，则。 ? 有，得。 解得， 所以，当AE=时，二面角的大小为。 事实上,我们不难发现向量法研究几何问题具有一定的机械化，程序化。数学教育现代化问题就是机械化问题，所以向量的引入也是符合数学教育现代化的。 通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算. 这个问题如果采取点线面直接求解的办法,难度很大,这在当年的新旧教材的考试中明显反映出来.向量解决问题的直接好处体现得异常充分,学生比较容易找到落脚点,把空间的问题转化为代数问题,实际问题模型化,从向量的角度切入,可以有效地避开很多难点. 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合.在平面向量中体现出来的“数形结合”的思想方法，对优化学生的思维品质，培养和发展思维能力，发挥了巨大的作用. 向量的几何表示，三角形，平行四边行法则使向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征. 所以，向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”。我们在研究向量问题或用向量解决数学问题时，如果恰到好处地运用数形结合的思想，可以将许多复杂问题简单化,抽象问题直观化的最小值是 . 分析：本题关键是用平行四边形法则转化为。 如图，设，则 (0≤x≤2). 由M为BC的中点，知，而= = 2x(2 – x)cos180°= 2x2 – 4x = 2 (x – 1)2 – 2 (0≤x≤2). 所以当x = 1时，取最小值–2. 注：计算的最值亦可用均值不等式。 A B C O M A B C O M