数值计算方法-第9章-常微分方程数值解.pptVIP

第9章 常微分方程 数值解法 边值问题的适定性 离散变量法及离散误差 用数值积分方法 用Talor 展开近似的方法 一. 欧拉 (Euler) 方法 向后Euler 方法 Euler 方法的算法描述 Euler 方法算例 (结果) Euler 方法的误差估计 误差的定义（续） Euler 方法的整体截断误差 Euler 方法的整体截断误差 (续) 二. 改进的欧拉 (Euler) 方法 梯形公式的误差 (续) 改进Euler 法 改进Euler 法的算法描述 改进Euler 法的算例 三. 龙格-库塔 (Runge-Kutta) 法 障碍及对策 RK方法的构造 二阶RK方法（续） 几个常用的二阶RK公式 几个常用的三阶RK公式 几个常用的四阶RK公式 几个常用的四阶RK公式（续） 经典四阶Kutta 方法的算法描述 经典四阶RK 公式算例 变步长的RK方法 变步长控制方法-1 变步长控制方法的改进 四. 线性多步法 线性多步法的导出 线性两步法的推导过程 (续-1) 线性两步法的推导过程 (续-2) 线性两步法的推导例子 一般形式线性多步法的系数确定 一般形式线性多步法的系数确定 (续) 常用的线性多步法 阿达姆斯 (Adams) 公式（续） 米尔恩 (Milne) 公式 海明 (Hamming) 公式 线性多步法算例及比较 算例结果 算例结果误差比较 算例结果看方法的差异 预测校正系统 常用的预测-校正系统 (续) 多环节的Adams 预测-校正公式（续） 多环节的预测-校正系统 (续) 多环节的Hamming 方法（续） 常用的多环节预测-校正系统算法描述 多环节Adams 预测-校正公式算法描述 (续) 多环节Hamming 方法算法描述 多环节预测-校正系统算例 五. 相容性、收敛性与稳定性 几种单步法的相容性验证 收敛性 收敛性的判断（续-1） 定理9.1 证明 (续) 推论1 收敛性的判断（续-2） 稳定性 Euler 方法的稳定性 梯形公式的稳定性 RK方法的稳定性 三阶RK方法的稳定性 四阶RK方法的稳定性 RK方法的稳定区域图 一般形式方程的稳定性考虑 稳定性算例结果 六. 微分方程组的数值解法 一阶微分方程组的Euler方法 高阶微分方程的数值解 高阶常微分方程的算例 高阶常微分方程算例结果 定理9.2 证明: (略) 设增量函数 在区域S上连续, 且关于y满足Lipschitz 条件, 则显式单步法收敛的充分必要条件是, 满足相容性条件: 稳定性的概念 收敛性: 只考虑数值方法的整体截断误差, 不考虑计算过程中的舍入误差. 即在假设每一步计算结果都是精确的前提下, 讨论当h?0时, 数值解是否趋于精确解. 特别地, 如果绝对稳定区域包含整个左半平面, 则称该方法是A-稳定的, 绝对稳定区域与实轴的交称为绝对稳定区间. 稳定性: 讨论当某一节点上的计算值yn存在一个误差(扰动)δ, 则该扰动是否会随着n的增加而不断增加. 稳定性的定义 定义: 对于给定的微分方程和给定的步长h, 某种方法计算节点值yn时产生误差为δ, 由此所引起后续节点值ym的误差δm, 若 , 则称该方法对所用步长h是绝对稳定的. 使得方法绝对稳定的h及方法中的参数全体称为该方法的绝对稳定区域. 以下就下述模型方程展开讨论: 其中λ为复常数. 仅讨论 f(x,y)=λy 的情形. 实际计算时, yn的误差为en, yn+1的误差为en+1. 则 要使误差不扩大, 则 Euler方法的绝对稳定区域 绝对稳定区间 稳定区域如图. 如果 hλ落在圆内, 则Euler方法稳定; 落在圆外, 则不稳定. 它与实轴的相交部分为: 梯形公式: 误差关系: 对于f(x,y)=λy 的情形 绝对稳定区域: 或, 绝对稳定区域 特别地, 当λ0时, 对任意h0, hλ都落在稳定区域内, 故梯形公式都是稳定的. 利用二阶RK方法系数之间关系: 对于f(x,y)=λy 的情形 绝对稳定区域: 二阶RK方法 或, 当λ为实数时, 二阶RK方法的绝对稳定区间 当λ为实数时, 同理可推得三阶RK方法的绝对稳定区域: 用MatLab的多项式求根命令: roots([1 3 6 12]); ① ② 记: 当qq1时, g(q)0. 故三阶RK方法的绝对稳定区间为: 可得 的实根 , 另两个是复根. ………………① 同理可推得四阶RK方法的绝对稳定区域: 当λ为实数时, 记: 四阶RK方法的绝对稳定区间为: 方程①的零点: 另两个是复根. ……………② 方程②的零点: