2017北京市高一数学初赛试题及解答.docxVIP

2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2?2A, x?2A}，则集合B的所有元素之积为（A）36． （B）54． （C）72． （D）108．答：A．解：由x2?2A，可得x2=4，2，3，9，即x=2，，，3．又因为x?2A，所以x2，x3，故x= ?2，，，?3．因此，集合B={?2, ?, , ?, ，?3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(?2)(?)()(?)()(?3)=36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan()=（A）． （B）． （C）1． （D）．答：A．ABCDOHKE解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为的直径. 连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE，KC//AD，因此AKCH是平行四边形．所以KC=AH=AO=BK．在直角△KCB中，由KC=BK，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan()= tan30°=．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n组2n?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k组中，则k为（A）31． （B）32． （C）33． （D）34．答：B.解：数2017是数列an= 2n ?1的第1009项．设2017位于第k组，则1+3+5+…+(2k?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k?3)＜1009．即k是不等式组的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中．ABOyxy =4．如图，平面直角坐标系x-O-y中，A, B是函数y =在第I象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB，则等腰直角△OAB的面积等于（A）． （B） ． （C）． （D）．答：D．ABOyxy =DC解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB，∠AOB=∠ABO=45°．过点A做y轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点D．易见△COA≌△DAB．设点A(a, )，则点B(a +, ? a)．因为点B在函数y =的图象上，所以(a +)(? a)=1，即? a2=1．因此S△ABC =OA2=(+ a2) =．5．已知f (x) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，则f (10)?f (?5)=（A）71655． （B）75156． （C）75615． （D）76515．答：C．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)?2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)?2017x有5个根，设第5个根为p，则f (x)?2017x = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p)即 f (x) = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p)+2017x．所以f (10)=9×8×7×6(10?p)+2017×10，f (?5)=?6×7×8×9(5+p)?2017×5，因此f (10)? f (?5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数若存在实数m，使得关于x的方程f (x)=m有四个不同的实根，则a的取值范围是（A）． （B）． （C）． （D）．答：D．解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, x≤a的图像和y=x2?4ax+2a, x＞a的图像的交点分别都是2个．而存在实数m，使y=m与y=|x|, x≤a的图像有两个交点，需要a＞0，此时0＜m≤a；又因为y=x2?4ax+2a, x＞a顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x2?4ax+2a, x＞a的图像有两个交点，需要m＞．因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m≤a且m＞，解得．二、填空题1. 用[x]表示不超过x的最大整数，设，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1≤, , ＜2，因此，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13