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高考数学复习资料 数学归纳法解题
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难点31 数学归纳法解题
数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突
出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
2 2 2 n(n 1) 2
(★★★★)是否存在a 、b、c 使得等式 1 ·2 +2 ·3 + …+n(n+1) = (an +bn+c).
12
●案例探究
*
［例 1］试证明：不论正数a 、b、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N 且a 、b、
n n n
c 互不相等时，均有：a +c ＞2b .
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.
k k k+1 k+1
技巧与方法：本题中使用到结论：(a －c )(a －c) ＞0 恒成立(a 、b、c 为正数) ，从而a +c
k k
＞a ·c+c ·a.
b
证明：(1)设a 、b、c 为等比数列，a= ,c=bq(q ＞0 且q ≠1)
q
n n bn n n n 1 n n
∴a +c = +b q =b ( +q ) ＞2b
n n
q q
n n
a c a c n *
(2)设a 、b、c 为等差数列，则2b=a+c 猜想 ＞( ) (n ≥2 且n ∈N )
2 2
下面用数学归纳法证明：
2 2
2 2 2 a c a c 2
①当n=2 时，由2(a +c ) ＞(a+c) ，∴ ( )
2 2
k k
②设n=k 时成立，即a c
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