关于多复变数的积分变换公式及其应用-Core.PDFVIP

中国科学 A 辑 : 数学 2009 年 第 39 卷 第 8 期 : 963 ∼ 976 关于多复变数的积分变换公式及其应用 黄玉笙①*, 林 良裕② ① 莆 田学院数学系, 莆 田 351100 ② 厦 门大学数学学院, 厦 门 361005 E-mail: hys3883636@163.com, lyulin@ 收稿 日期: 2008-07-22; 接受 日期: 2009-02-18; * 通信作者 国家 自然科学基金 (批准号: 和福建省 自然科学基金 (批准号: S0850026) 资助项 目 摘要 利用整体分析方法, 给 出了一个 多复变数的整体积分变换公式, 获得 了 Cn 中一 闭逐块光滑可定 向流形上 的 Bochner-Martinelli 型积分高 阶偏导具有 Hadamard 主值的 Plemelj 公式和相应奇异积分 的合成公式, 拓广 的 Poincar´e-Bertrand 公式. 作为应用, 我 们还讨论了一类高阶 Cauchy 边值 问题和一类多复变数线性高阶奇异微积分方程的正则化 问题. 关键词 积分 变换 Bochner-Martinelli 型积分 高 阶偏 导 Plemelj 公 式 合成公 式 Poincar´e-Bertrand 公式 应用 MSC(2000) 主题分类 32A25, 32A40, 32C10, 32C58, 32F20 0 引言和定义 众所周知, 局部分析技巧和整体分析技巧是现代分析 中最常用 的有力工具 [1−9] . 但是, 有时局部分析的计算和估计过于复杂和困难, 尤其在讨论高阶边值问题和高阶微积分方程等 方面更加困难, 甚至存在一些困惑. 为了排除这些困惑, 本文采用与文献 [10–12] 不同的方法, 利用整体分析的方法, 首先给出了一个新 的多复变数的整体积分变换公式, 把具有任意高阶 奇性的 Bochner-Martinelli 积分的偏导化为具有 Cauchy 主值的新型积分. 由此, 我们给出了 一个多复变数的高阶奇异积分的 Hadamard 主值的新定义, 并获得了 Cn 中的一闭逐块光滑 可定 向流形 的 Bochner-Martinelli 型积分高阶偏导化具有 Hadamard 主值的新 的 Plemelj 公 式和相应奇异积分 的合成公式, Poincar´e-Bertrand 拓广式. 作为应用, 我们还讨论了一类高 阶 Cauchy 边值 问题和一类高阶复线性变系数微分–积分方程 的正则化问题, 获得 了一些有 趣 的结果. 设 D 是 Cn 中的有界域, 其边界 ∂D 是一闭逐块 C (m+2) 光滑, 1 m +∞ 可定 向 [6,11] ± ∗ ¯ 流形 . D 分别表示域 D 的内部和外部. L (D) 表示在 ∂D 上满足 H¨older 条件且可 全纯开拓到 D 内的函数空间, L∗ 表示相应 的线性空间. nζ 表示点 ζ ∈ ∂D 的法线方 向, C = (n − 1)!(2πi)−n , B (ζ) = {ξ : |ξ − ζ | ε}, σ (ζ, ξ) = ∂D ∩ B (ζ), Σ (ζ, ξ) = ∂D\σ (ζ, ξ), n ε ε ε ε ε 引用格式: 黄玉笙, 林 良裕. 关于多复变数的积分变换公式及其应用 . 中国科学 A, 2009, 39(8): 963–976 Huang Y S, Lin L Y. On the integral transformation formula in several complex variables and its appli-