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关于有界线性算子的几个不等式-湖南师范大学自然科学学报.PDF
２０１４年８月 湖南师范大学自然科学学报 Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．４ 第３７卷 第４期 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｏｆＨｕｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ａｕｇ．，２０１４ （贵州民族大学理学院，中国贵阳 ５５００２５） 通过利用一个算子恒等式和关于多个算子的Ｂｏｈｒ不等式，得到了关于有界线性算子的几个不等式， 所得结果是同行前期结果的改进．同时，通过利用改进的几何算术平均值不等式，得到了关于算子几何均值和算 术均值的一个不等式，所得结果推广了现有的一个不等式． 有界线性算子；Ｂｏｈｒ不等式；几何算术平均值不等式 Ｏ１５１２１ Ａ １０００２５３７（２０１４）０４００９２０４ ＯｎＳｏｍｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒＢｏｕｎｄｅｄＬｉｎｅａｒＯｐｅｒａｔｏｒｓ ＨＵＡＮＧＪｉｅｗｕ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕｉｚｈｏｕＭｉｎｚｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ５５００２５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ ＳｏｍｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｂｏｕｎｄｅｄｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇａｎｏｐｅｒａｔｏｒｉｄｅｎｔｉｔｙａｎｄＢｏｈｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｏｎｓｏｍｅｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｒｅｎｅｍｅｎｔｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｓｏｍｅｅｘｉｓｔｉｎｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．Ａｌｓｏ，ａｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｏｎｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎａｎｄａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｇｅｏｍｅｔ ｒｉｃｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｓａｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｂｏｕｎｄｅｄｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓ；Ｂｏｈｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ 用Ｂ（Ｈ）表示由可分Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ上所有有界线性算子生成的代数．设Ａ Ｂ（Ｈ），则它的绝对值算子 ∈ １／２ 定义为：｜Ａ｜＝（ＡＡ） ，其中Ａ 表示Ａ的共轭算子．设Ａ，Ｂ Ｂ（Ｈ）为可逆正算子，它们的几何均值和算 ∈ 子相对熵被分别定义为 １／２ －１／２ －１／２ １／２ １／２ １／２ －１／２ －１／２ １／２ Ａ＃Ｂ＝Ａ （Ａ ＢＡ ） Ａ ，Ｓ（Ａ｜Ｂ）＝Ａ ｌｏｇ（Ａ ＢＡ ）Ａ ． 关于算子几何均值、相对算子熵的更多信息可参见文献［１～２］． 经典的Ｂｏｈｒ不等式是说，对于任意的ｚ，ｚ Ｃ以及ｐ，ｑ＞１，有 １ ２ ∈ ２ ２ ２ ｜ｚ－ｚ｜ ｐ｜ｚ｜＋ｑ｜ｚ｜． １ ２ ≤ １ ２ ［２９］
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