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第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.在可微的等价定义： 1），； 2）； 3）． 2.求在处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： ， . 2）转化为一元函数的导数： ，. 例如，，求. 解 . 3）先求偏导函数，在代值，即 ，. 3.求（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求，把当常数，对求导，求，把当常数，对求导. 2）运用轮换性，若在中，把换成， 换成，不变，则称关于和具有轮换性.若已经求出，只要在把换成， 换成，就得到. 3）类似一元函数的求导法则： ；；；. 4）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则先求出全微分，然后得到偏导数. 微分的形式不变性:设有连续偏导数，无论是中间变量还是自变量都有，这个结论对于一元函数，三元等其它的多元函数也成立． 微分四则运算法则：设以下所设函数都可微 . 5）利用复合函数求导的链式法则. （1）设函数，在点处可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点处可导，并且有 函数结构图是 v 从函数结构图中可以看到：一方面，从引出两个箭头指向中间变量、，表示是、的函数，同理和都是的函数；另一方面，由出发通过中间变量到达的链有两条，这表示对的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，例如 表示， 表示，因此． 注意这里和都是的一元函数，，对的导数用记号，表示，是，的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号，表示，函数经过复合之后，最终是的一元函数，故对的导数用记号表示，称为全导数，公式（1）称为全导 数公式． （2）若，在点处都存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， ． 函数结构图为 我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如到的链有两条，即为两项之和， 表示， 表示，因此． （3）设函数在点处可导，在点处存在偏导数，而在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， ． 函数结构图为 （4）设具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， ． 函数结构图为 注：为了避免混淆，公式右端的换成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不变而对求偏导数，是把复合函数中的看成不变而对求偏导数． 注 复合函数求偏导数过程中必须搞清楚几点： 1）搞清楚函数的复合关系．自变量是哪几个？中间变量是哪几个？正确的设置中间变量可以使函数的复合结构更加清晰，也可以画出函数的复合关系图，更加直观地表示复合关系．求复合函数的偏导数时可根据复合关系图运用“连线相乘，分线相加”的方法写出相应的公式，避免漏项．也就是在关系图中函数到达自变量的路线有几条，偏导数就由几项相加而成，而每一项有由一条路线中各连线的偏导数相乘得到． 2）要注意若是偏导数用表示，若是一元函数的导数用表示． 3）求复合函数的高阶偏导数，是按指定的顺序先求一阶偏导数再求二阶偏导数．但是要注意一阶偏导数仍然是以原自变量为自变量，以原中间变量为中间变量的复合函数． 4）利用某个变换，将一个含有等的微分式子（或方程）变换成含有等的微分式子（或方程）一般只需根据变