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《经济问题探索》2003年第6期从非欧几何看经济学的多种流派李 晓平(安徽财贸学院成人教育分院)一、非欧几何简介接受过普通中等教育的人,都曾经学习过一些几何学的基本知识。他们所学的这种几何 学,数学家称之为“欧几里德几何”也叫“欧氏几何”,它主要是由古希腊的数学家欧几里德(Eu2clid)归纳、整理出来的一个理论体系。欧几里德对这种几何学的主要贡献,并不在于究竟有多少 个这种几何学的定理是由他最先发现和给出证明的,而在于是他最先用定义、公理、公设和定理来将这种几何学建成了一个在逻辑上相对来说比较严谨、周密的理论体系。比欧几里德稍稍年长一些的大学者亚里士多德认为,公理是适用于一切科学的真理,而公设则只应用于具体学科。欧几里德接受了他的观点。欧几里德在其著作《几何原本》中首先给出一些基本概念如点、线、直线、面、平面、圆、圆心、 圆的直径、平行直线等的定义(前几个概念的定义使用了未经定义的概念,因此现在认为这种定义在逻辑上是有缺陷的),然后列出五个公理和五个公设。这五个公理是:1、跟同一件东西相等的一些东西,它们彼此也是相等的。2、等量加等量,总量仍相等。3 、等量减等量,余量仍相等。4、彼此重合的东西是相等的。5、整体大于部分。五个公设是:1、从任一点到任一点作直线(是 可能的)。2、把有限直线不断循直线延长(是可能的)。3、以任一点为中心和任一距离(为半径)作一圆(是可能的)。4、所有直角彼此相等。5、若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。最后欧几里德再在上述定义、公理和公设的基础上,来叙述和证明定理。如人们所热知的勾股定理,三角形三内角之和等于180度、圆的任一直径所对的圆周角必为直角等等结论,都可以在这一理论体系中得到证明。而如果一个结论或由其所推导出来的结论与某一公理或公设相矛盾,则此结论就是错误的。欧几里德的工作使得当时和其后两千多年内的数学家都认为,任何一个几何学结论,只要将其与欧几里德所列的公理和公设相对照,原则上都可以判定其真伪(用现在的术语来说,就是欧氏几何具有“完备性”) 。欧氏几何被认为是人类数学发展史上第一个具有里程碑意义的伟大成就,在19世纪之前, 所有数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的正确理想化。有的数学家将其优点概括为以下八点,1、概念清晰。2 、定义明确。3、公理直观可靠而且普遍成立。4、公设清楚可信且易于想象。5、公理数目少。6、引出量的方式易于接受。7、证明顺序自然。8、避免未知事物。很多数学家都想把逻辑基础模糊的其它数学(包括算术、代数、微积分等等),建立在欧氏几 何之上,以此来保证这些数学分支的真理性。在几乎所有数学家都对欧氏几何推崇备至的同时,也有一些数学家认为这一理论体系还可 以进一步加以改进。他们主要是对欧几里德所列出的第5公设(又称为“平行公设)不太满意。 有的数学家认为这一公设不太自明,因此他们致力于寻求更自明的公设来代替这一公设。例如我们现在所知道的“,在同一平面上,过直线外一点能且只能引一条直线与已知直线不相交”,就是这种努力的结果之一。还有一些数学家则认为第5公设不应该是一个公设,而应该是一个定 理,即它应该能由其它公理和公设加以证明,因此他们致力于寻求这种证明。他们的这种努力最终导致非欧几何的诞生,也使得数学家对数学的认识发生了天翻地覆的改变。非欧几何的诞生是很多数学家长期努力工作的结果,不能完全归功于某些个人,但其中决 定性的几步却是由几位数学家完成的。现在一般认为,德国数学家高斯(Gauss)、俄罗斯数学家罗巴契夫斯基(Lobatcheevsky) 和匈牙利数学家波里亚(Bolyai) 是形成非欧几何思想的三位最关键性人物,其中罗巴契夫斯基更是最先公开和较为系统地阐述了一种非欧几何理论。罗巴契夫 斯基保留了欧氏几何中的五个公理和前四个公设,只是将第5公设改为“在同一平面上,过直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交”,在这样的基础上提出了一个不同于欧氏几何的几何学理论体系,后来人们将这一理论体系称为“罗氏几何”。28年之后,高斯的学生,德国数学家黎曼(Riemann)又将第5公设改为“同一平面上任何两条直线一定相交(即“在同一平面上,过直线外一点无法引任何直线与已知直线不相交”),在此基础上又形成了另一种不同于欧氏几何的“黎氏几何”。现在人们将罗氏几何和黎氏几何统称为“非欧几何”。在上述三种几何学里,凡不涉及到平行公设的定理,在以上三种几何学里都是成立的,可以 表述为相同的结论。如“假设两个三角形的三对对应边全部对应相等,则两个三角形可以完全叠合”。而与平行公设有关的定理,则在三种几何学中呈现为两两互不相容的形态。如在欧氏几何中“,任何一个三角形的三内角之和等于两直角”;在罗氏几何中“,任何一