2垂径定理推论.pptVIP

O . C A E B D 垂径定理 1、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。 E 变式1. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． ． B O A C D 证明圆中与弦有关的线段相等时, 常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题. M 如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。 10 4 6 8 16 练习1:如图，CD为圆O的直径，弦 　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°， 　　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 O A B C D E F 2:在圆O中，直径CE⊥AB于D， OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ， 求圆O的半径。 　　 A B C D E O 你可以写出相应的命题吗? 垂径定理的逆定理 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD = BD. 知二推三 垂径定理及逆定理 ●O A B C D M└ 条件 结论 命 题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 判断 ⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ) ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ) ⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ) ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( ) ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） × √ × × √ 直径 两条直径 不是直径 （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。 ? ? ? A B C D O (1) A B C D ?O (2) A B C D ?O (3) 不是直径 直径 1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. ? ? A B C D ?O (5) A B C D ?O (6) E 试一试 挑战自我填一填 1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . D 1.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于( ) A.1cm B.2cm C. Cm D. 2.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为( ) A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不对; C O P 2 3 解：（1） ?OAB+ ?AOC=90? AC=CB ，OC 是半径（已知）