福州高级中学2014级数学培优资料 第11讲 点线面之间的基本关系.doc

第11讲 点线面之间的基本关系 1. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 2. 空间两条直线的位置关系： 3. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. 4. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；. 5. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；. 【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. 解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC.∵ P在面ABC与面ADC的交线上， 又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点. 【例2】．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面． 证明：连结和，因为 是的中点，所以 ． 又 矩形中，所以 ， 所以 可确定平面，所以 共面， 同理 ，故 共面． 又 平面与平面都经过不共线的三点， 故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面． 同理可证，所以，E、F、G、H、K、L六点共面． （证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．） 【例3】（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线. 确定平面β，且与α有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线. （2）AB∥CD，AB，CD确定一个平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α与β的交线上，所以四点E，F，G，H共线.在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？ 解：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状. 连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，连结PN交A1B1于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证ME∥DN且MEDN，因而它是一个梯形.【例5】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线． 过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B. 【例6】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线. 证明：（1）∵ 正方体中，，∴. 又 ∵ 中，E、F为中点， ∴ . ∴ , 即D、B、F、E四点共面. （2）∵ ，，，， ∴ . 又 ， ∴ ，， ∴ . 即P、Q、R三点共线 【例7】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点. （1）求直线AB1和CC1所成的角的大小； （2）求直线AB1和EF所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1， ∴ DC