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第三章 指数函数与对数函数 指数函数与对数函数都是最基本的函数．本章首先学习指数函数的概念、图象和性质，然后，学习对数的有关知识，再学习对数函数的概念、图象和性质． §3—1 指数函数 一、指数函数的定义 定义 函数叫做指数函数，它的定义域是实数集R. 例如，等都是指数函数． 二、指数函数的图象和性质 首先用描点法在同一坐标系中作出函数的图象，如图 3—1所示． y x o 图3—1 由图3-1可以看出，这三个函数具有如下特点：图象都在x轴上方，且都经过点（0，1），的图象沿ｘ轴正向上升，沿ｘ轴正向下降． 　　一般地，指数函数 的图象和性质如表3—1所示： , 图象 　　　　　　　 　　 　　　　　　 性质 （1）值域是正实数集 （1）值域是正实数集 （2）当x=0 时,y=1 （2）当x=0 时,y=1 （3）当x0 时,y1 当x0 时,0y1 （3）当x0 时,0y1 当x0 时,y1 （4）在上是增函数 （4）在上是减函数 　　　　　　　　　　　　　 表3—1 　例1 　下面两个数中那个大于1，那个小于1? (1) ； (2) ． 解 根据的性质： （1）因为； 　（２）因为． 　例２　决定下列各式中Ｘ的正负： 　（１）；　　　　（２） 　解　　根据的性质： 　（1）因为； 　（２）因为． 　例３　比较下列各组中两个数的大小： 　（１）；　　　（２）． 解　　根据的单调性： 　　（１）因为函数单调增加，所以由 ． (2)因为函数单调减少，所以由． 例４　　求下列函数的定义域： （１）；　　　　　（２）． 解 （1） 要使函数有意义，必须，即 ,根据的单调性，有，所以，函数的定义域为． （2） 要使函数有意义，必须，即 ,根据的单调性，有，所以，函数的定义域为． 　　　　　　　 习题　　３—１ １．在同一坐标系中做出函数和的图象，并由图象说明它们的性质． ２．下列函数中哪些是单调增加的函数，哪些是单调减少的函数？ 　　 （１）；　　　　（２）． ３．比较下列各组中两个数的大小： 　　（１）和１；　（２）和；　（３）和　． ４．　求下列函数的定义域： （１）；　（２）；　（３）． 　　　　　　　§３—２　对　数 　 一、对数的定义 　 　定义１　　如果则称数为以为底的对数，记作，即　ｂ＝　　（１） 其中，叫做底数，Ｎ叫做真数，（１）式称为对数式． 　　　注：零和负数无对数． 　　 例１　把下列的指数式写成对数式： 　　　　　（１）；　　　　（２） 　　 解　　（１）； 　　　　　（２）． 例２　把下列对数式写成指数式： 　　（１）；　（２）． 解　（１）；　　　　（２）． 　　 对数的性质： 　　　（１）１的对数零，即； 　　　（２）与底数相等的数的对数式１，即． 定义２　以10为底，正数Ｎ的对数叫做常用对数，记作；以为底，正数Ｎ的对数叫做自然对数，记作. 注：（1）无理数 (2) 对数的性质，对自然对数和常用对数仍然适用 二、两个恒等式 例3计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）lg1000； (4) 解 由恒等式得： （1）=5； （2）==125 （3）lg10000== 4 (4) = 三、对数的运算法则 正数的积、商、幂的对数有如下的运算法则： 1．两个正数乘积的对数，等于各个因数对数的和，即 　　　 2．两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数，即 3．一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂指数，即 　　　　　　　　 　　 注：法则1可以推广到真数为多个正数乘积的情形 例4 求下列各式的值： （1）； （2）． 解 （1） （2） 例5 已知 ，求证 　　　证明 左边） ]