立体几何初步讲义.docVIP

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 知 识 梳 理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′a，b′b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 范围：. (3)平行公理和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 辨 析 感 悟 1．对平面基本性质的认识 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识 (5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(√) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×) [感悟·提升] 1．一点提醒　做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分． 2．两个防范　一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)． 3．一个理解　异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6). 考点一　平面的基本性质及其应用【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)． 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3 (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是(　　)．A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形 规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． (2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置． 【训练1】 如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________． 考点二　空间两条直线的位置关系 【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行；BD与MN为异面直线； GH与MN成60°角；DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 【训练2】 在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．  考点三　异面直线所成的角 【例3】 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值． 规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直