第七章 无穷级数讲义.docVIP

无 穷 级 数 第一节 常数项级数 1．概念与性质 （1）定义： （2）性质 1）若和分别收敛于，则收敛于. 2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变. 4) 收敛 2.判敛准则 (1)正项级数(,) 基本定理：收敛上有界。 1)比较判别法：设,则（1） 收敛收敛. （2） 发散发散. 2)比较法极限形式：设 ①若,则与同敛散. ②若,则收敛收敛,发散发散. ③若,则发散发散,收敛收敛. 3)比值法:设,则 4)根值法: 设,则 (2)交错级数() 莱不尼兹准则: 若：(1)单调减; (2) , 则收敛. (3)任意项级数(,为任意实数) 1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论 ①绝对收敛的级数一定收敛,即收敛收敛. ②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散. 即: 条件收敛和发散. 题型一 正项级数敛散性的判定 例7.1判定下列级数的敛散性. 1) 2) 3) 4) 解 1），则 （1）当时，原级数收敛； （2）当时，原级数发散； （3）当时，，原级数发散。 2） （1）当时，原级数收敛； （2）当时，原级数发散； （3）当时，，但是单调增趋于的，则，即单调增，又，则，原级数发散。 3）由于，而收敛，则原级数收敛. 4）由于，而 ， 则原级数与级数同敛散，故原级数在时收敛，在时发散。 例7.2 判定下列级数敛散性. 1) 2) 3) 解 1）由于 ， 而收敛，则原级数收敛. 2）由于，故原级数收敛. 3）方法1° 由泰勒公式知 则 而收敛，则原级数收敛. 方法2° 由不等式知 . 而收敛，则原级数收敛. 例7.3 设，试讨论级数的敛散性. 解 由知，充分大时，且 则与同敛散. 而 ，则当充分大时有 ，从而有. 而收敛，则级数收敛. 例7.4设为正项级数,下列结论正确的是 若,则收敛; 若存在非零常数,使,则发散. 若收敛,则. 若发散,则存在非零常数,使得. 解法1 直接法. 由知，，由比较法的极限形式知，级数与同敛散，则发散，故应选（B）. 解法2排除法. 考虑，级数发散. 但，则（A）和（D）都不正确. 考虑，显然级数收敛，但，则（C）不正确. 故应选（B）. 题型二 交错级数敛散性判定 例7.5判定下列级数的敛散性 (1) (2) 解 （1）本题中的级数为交错级数，且，考虑函数. 由于 又 ， 故单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛. 2）由于 此时单调减且. 由莱不尼兹准则知原级数收敛. 例7.6设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛?为什么? 解 由于单调减，且，即下有界，则存在，设，则，若，由莱不尼兹准则知级数收敛，这与题设矛盾，因此，此时，对正项级数用根值法，得 ， 则级数收敛. 题型三 任意项级数敛散性判定 例7.7判定的敛散性. 解 因，又， 则级数与同敛散. 对级数用根值法得 . 则收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 例7.8讨论是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数. 由于 ， 1）当时，原级数绝对收敛. 2）当时，原级数发散。 由于，当充分大时，， 则，从而，故级数发散. 3）当时， 若，原级数为时收敛，时发散. 若，原级数为. 该级数在时绝对收敛；在时条件收敛，在时发散. 例7.9设常数,则级数 （A）; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散与发散与取值有关. 解 ， 显然绝对收敛，而条件收敛，则原级数条件收敛， 故应选（C）. 7.10设常数，且级数收敛，则级数. (A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)敛散性与有关. 解 由不等式知 . 而和都收敛，则原级数绝对收敛，故应选（C）. 例7.11设,(),则下列级数中肯定收敛的是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 解法1直接法. 由知，. 而收敛， 则级数肯定收敛，故应选（D）. 解法2排除法. 1）取，显然，但发散，发散，则（A）和（C）不正确. 2）取显然有，但 ， 而收敛