工程力学 能量法.ppt

在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其 一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。 如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 及 可写成左边的形式。 例题总结： 1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。 2． 中的正负号所表示的含义： “+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。 “-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。 中的 为了区别 及 ，在 中的 改写 的形式。 成 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位移方向。 注意： 上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高“讲”的效果。 五.莫尔定理在平面曲杆的应用： 〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式： 式中：S ——代表曲杆轴线的弧长 ——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 ——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家课后将它推导出来） §9-4 图形互乘法 梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分： 对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为： 图乘法：将积分 图形相乘。出发点：直杆在单位力作用下的内力图必定是直线段或者折线段。 的计算转化为 考察任一梁段AB，其上由载荷引起的弯矩 可为任意图形，而由单位力引起的弯矩 为斜直线。 O x y A B O x y A B 建立坐标系：以 与 x 轴的交点O为坐标原点，设 与 x轴的夹角为 。 O O x y A B x y A B · dx x xC l O x y A B O x y A B · dx x xC l ——阴影部分面积 阴影部分面积对 y 轴之矩 —— —— 图 对 y 轴之静矩 图上 对应 xC 的值 —— 图的面积 —— —— 图形心的横坐标 —— 图上对应 的值，简记为 例9 求图示悬臂梁在自由端的挠度。 B A 1 B l A EI F 解： （1）建立单位力系统： （2）作载荷系统和单位力系统的弯矩图： l · l · （3）计算 、 、 ： “正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。 例10 求图示外伸梁 A 截面的转角。 F A EI B C a l 解： （1）建立单位力系统： 1 （2）作 、 图： · · · （3）图乘求 ： · · · ① 与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。 ② 与 在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时， 为负。 例11 求图示简支梁 C 点的挠度和 A 点的转角。 F EI l/2 l/2 A B C 1 （2）作 、 图： 解： （1）建立求 的单位力系统： · l/2 l/2 （3）求 ： · l/2 l/2 1 F EI l/2 l/2 A B C （4）建立求 的单位力系统并作相应的 图： l/2 l/2 l/3 l/3 l/3 图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。 图乘法注意要点： （1）直杆方能图乘。 （2） 和 图绘制原则为或同时画在受拉边，或同时画在受压边。 （3） 图必须为一条直线，为折线时应分段。 （4）尽量将 图绘成面积及形心位置已知的图形（包括不同载荷的弯矩图分开画）。 （5） 与 在基线同一侧时， 为正，反之为负。 §9-5 互等定理 以梁为例推导： 记号： ：“力”的作用位置 载荷： 位移： ：位移发生的位置 ：位移发生的原因， 点的“力”引起的 现在梁上1、2两点加载荷 、 ，采用两种不同方式加: 第一种加载方案： 1、2两点同时加 、 由叠加原理，1点总的位移为： 2点总的位移为： 第二种加载方案： 先加 ，然后再加 先加 ， 做功为：