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工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 §7 力系的平衡 （1）力系的平衡条件。 （2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。 （3）求桁架(二力直杆系统）的内力。 （4）带有摩擦的平衡问题。 §7 .1 力系的平衡条件及平衡方程 1.空间力系的平衡方程 2.平面任意力系的平衡方程 * * (17) 本章内容是静力学部分的核心，包括： 关于“平衡”的概念 （1）物体或物体系统的平衡——相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。 （2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩均为零。 ★ ★ 注意 区分以下几个概念： 力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡，变形体的平衡 （1）单个刚体的平衡 力系的平衡 力系的平衡 单个刚体的平衡 （2）刚体系的平衡 力系的平衡 力系的平衡 刚体系的平衡 （3）变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡 变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡 （4）仅在静力学中： 单个刚体的平衡 力系的平衡 平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件； 任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 和对任一确定点O的主矩 全为零。 即 （7.1） 在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的代数方程： O Di x y z l1 l3 l2 (7.2) 注意 （1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证6个方程是独立的。 （2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组。 （3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有3个，但矩方程最多可有6个。 特殊的空间力系及独立平衡方程个数： （1）空间汇交力系 ——3个独立方程 ∵各力交于O点 平衡方程仅有 即 （2）空间力偶系 ——3个独立方程 O O 平衡方程仅有 即 （3）空间平行力系 x y z 设各力平行于z 轴，则有 平衡方程仅有 —3个独立方程 （4）其他 例如：空间各力与某轴 l 相交 l ——仅有5个独立的平衡方程 各力对 l 轴之矩恒为零 O （1）在平面内任取点A： x y O 各力均位于Oxy平面内，故平衡方程（7.1）中 A 称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一个力矩式，故常称一矩式。 一矩式 (7.4) 故平面任意力系的平衡方程为： (7.3) 平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式： （2）在平面上任取A,B两点及不垂直于AB连线的x轴： 由力系平衡 因此，对任一轴x， 且 同理 必要性得证。 二矩式 且x轴与 不垂直 (7.5) 证明： 已知平面力系平衡，证明二矩式成立。 (a)必要性： O (b)充分性： 二矩式成立，则平面力系平衡。 由 将 A、B 点视为简化中心， 则力系不可能简化为力偶， 而只能是通过A、B两点的合力。 又由于 x 轴与 不垂直， 若 不为零，则其在 x 轴的投影必不为零； 这与 矛盾。 所以 充分性得证。 (3)在平面上任取三点A，B，C不共线: 上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为3，若找到第四个方程，则必是前3个方程的线性组合，不是独立的。 因此，对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。 例如： 三矩式 (7.6) 3、特殊平面力系的平衡方程 （1）平面汇交力系： 设汇交点为A 或 (A、B、C三点不共线) 或 （AB连线不垂直于x轴） （2）平面力偶系： （各力偶Mi作用面相互平行即可） 两个独立方程！ 一个独立方程！ A x y B C （3）平面平行力系： 设各力与 y 轴平行 或 其中 与各 不平行。 两个独立方程！ A B 例 题 1 §7 力系的平衡 ? 例题 A B 求A、B处的约束力。 已知支架受力如图， 其中 ， 解：取梁AB为分离体，画受力图。 由 例 题 1 §7 力系的平衡 ? 例题 A B A B F 列出该梁的平衡方程。 （以逆时针为正） 选矩心为A点： (方向如图) （平面任意力系3个独立方程） 例 题 1 §7 力系的平衡 ? 例题 若取矩心为B点，则有： 该式不再独立，可作为校核。 A B F (→) (↑) 由 由 求一端固支、一端自由的梁(悬臂梁)固支端的约束力。 解：取AB为分离体，画出受力图。 由 由 由 例 题 2 §7 力系的平衡 ? 例题 均布载荷（同向平行力系）合力为 (↑) (?) A B 例 题 3 §7 力系的平衡