第六章 統計估計.DOCVIP

授 課 目 錄 導 論 統計資料的整理與描述 機率導論 常用的機率分佈與統計分佈 描樣方法與描樣分佈 統計估計 統計檢定 變異數分析 相關分析與迴歸模式 無母數統計檢定 類別資料分析---列聯表與卡方檢定 當獲得母體的樣本資料時，可由各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，續之即估計該分佈之參數值，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。 然即使隨機變數的機率分佈及其參數值已知，仍無法準確的預測某特定事件一定或不一定發生，而只能預測此事件發生之機率為若干。此不確定性發生的原因主要是因為自然現象有固有的隨機性(Inherent Randomness)。但不確定性的其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數推定不準確所致。雖然參數推定值的準確性可因樣本數的增加而提高。但固有的變異性確可能因為樣本數增加而益形顯著。 統計估計過程是由母體中抽取出數樣本，藉機率原理找出適當的樣本統計量，再以此樣本統計量推估母體參數。統計估計方法，一般分為點估計與區間估計兩種。 6.1 點估計(Point Estimation) 假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|()，其中(為未知的參數。為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1, x2,…,xn。 利用點估計方法求出一估計式(Estimator)，以表示。再將觀測值為x1, x2,…,xn代入估計式中得到一數值，此數值稱之為參數(的估計值(Estimate)。 常用方法：(1) 最大概似法，(2) 動差法。 最大概似法(Maximum Likelihood Method) 由Fisher (1912)提出。假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|()，其中(為未知的參數，為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1, x2,…,xn。則概似函數定義為 L(x1, x2,…,xn；) = f(x1,()f(x2,()…f(xn,() (6.1) 使概似函數L(x1, x2,…,xn；)值為最大，則能求出估計式，稱此為最大概似估計式(MLE, Maximum Likelihood Method) 範例、某公司新推出光碟燒錄機，其使用壽命服從指數分佈f(x) = (1/()e-x/(。為估計參數(以了解平均使用壽命，隨機抽取出11台樣本做測試，測得其壽命結果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52 (百小時)。試以最大概似法估計(值。 SOL：L(x1, x2,…,xn；) = f(x1, ()f(x2, ()…f(xn, () ln L(x1, x2,…,xn；)= -n ln ( -(1/()(ni =1 xi d (ln L)/d( = -n / ( + (1/(2)(ni =1 xi = 0 Estimator(估計式) =(ni =1 xi /n = (8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11= 267/11 範例、假設隨機變數X~N((, (2)，從其中隨機抽取出一組樣本x1, x2,…,xn，試以最大概似法估計(, (2值。 SOL：L(x1, x2,…,xn；2) = f(x1, (, (2)f(x2, (, (2)…f(xn, (, (2) ln L(x1, x2,…,xn；2) = ln = -(n/2) ln (2() - (n/2) ln ((2)- (((xi-()2)/ 2(2 範例、台灣的地理位置處於東亞地震帶，地震活動較頻繁。假設台灣發生有感地震的次數服從卜氏分佈Poi(()。台東氣象站為了要估計此參數(，以了解台灣有感地震情形，於是觀察過去一年來的每月資料，得到台灣有感地震資料如下：9, 7, 12, 14, 3, 11, 7, 10, 4, 6, 8, 10。試以最大概似法求(之估計式，並由樣資料去估計(值。 SOL：L(x1, x2,…,xn；) = f(x1, ()f(x2, ()…f(xn, () ln L(x1, x2,…,xn；)= -n( +(ni =1 xi ln (- ln (ni =1 xi! d (ln L)/d( = -n + ((ni =1 xi)/ ( = 0 Estimator(估計式) =(ni =1 xi /n = (9+7+12+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12= 101/12=8.42 6.2.2 動差法(Moment Method) 由Pearson (1894)提出。假設隨機變數X的k次動差為(k= E[Xk]，則樣本動差定義為 即為對k次動差(k點估計。 ◎對母體平均值(、變異數(2做點估計 一次動差(