2018年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课件 新人教A版选修4-5.pptVIP

猜想： 猜想结论： ① 我们S= a1c1+a2c2 + ??? +ancn 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的乱序和, ②我们S1= a1b1+a2b2 + ??? +anbn 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的顺序和, ③我们S2= a1bn+a2bn-1 + ??? +anb1 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的反序和. 问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？ 证明：∵a1≤a2 ≤ ??? ≤ an , b1≤b2 ≤ ??? ≤ bn为两组实数，c1,c2 ??? ,cn是b1,b2 , ??? , bn任一个排列,且b1,b2 , ??? , bn的全排列只有n!个， ∴S=a1c1+a2c2 + ??? +ancn ① 的不同值只有有限个(个数≤ n!)，其中必有最大值和最小值. 考虑①式，若c1≠b1,则有某ck=b1(k1), c1ck. 将①式中，c1、ck 对换，得： S′=a1ck+???+akc1 + ??? +ancn ② ②?①得：S′?S=a1ck+akc1 ? a1c1?akck=(ak ? a1)(c1?ck)≥0. 这说明将①式中的第一项调换为a1b1后和式不减小. 若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S. ∴S1≤S ≤S2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的. 定理(排序不等式或称排序原理) 设a1≤a2 ≤ ??? ≤ an , b1≤b2 ≤ ??? ≤ bn为两组实数，c1,c2 ??? ,cn是b1,b2 , ??? , bn任一个排列,则a1bn+a2bn-1 + ??? +anb1≤ a1c1+a2c2 + ??? +ancn ≤a1b1+a2b2 + ??? +anbn ，当且仅当a1=a2 =??? = an 或 b1=b2 =??? = bn时，反序和=顺序和. 分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化为数学问题. 排序不等式 教学要求： 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法. 教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 一、复习准备： 1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式） 1.柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥③ ., 当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得④ 时等号成立. (a1b1+a2b2+…+anbn)2 ai=kbi(i=1,2,3,…,n) 问题： ① 我们S= a1c1+a2c2 + ??? +ancn 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的乱序和, ②我们S1= a1b1+a2b2 + ??? +anbn 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的顺序和, ③我们S2= a1bn+a2bn-1 + ??? +anb1 叫数组(a1,a2 , ??? , an), (b1,b2 , ??? , bn)的反序和. 问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？ 对应关系 和 备注 （1,2,3） （4,5,6） （1,2,3） （4,6,5） （1,2,3） （5,4,6） （1,2,3） （5,6,4） （1,2,3） （6,4,5） （1,2,3） （6,5,4） 32 31 31 29 29 28 二、讲授新课： 1. 教学排序不等式： 顺序和 反序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 对应关系 和 备注 （1,2,3） （25,30,45） （1,2,3