椭圆与双曲线的“第三”定义.docVIP

椭圆与双曲线的“第三定义” 鹿泉一中 张波涛 引例: 普通高中课程标准试验教科书（人教版）选修（2-1） 1. 2.2例3如图2.2-6，设点A,B的坐标分别是（-5，0），（5，0）。直线AM,BM相交于M,且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程。 图2.2-6 2. .选修（2-1）55页探究：如图2.3-5，点A,B的坐标分别是（-5，0），（5，0）。直线AM,BM相交于M,且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与2.2例3比较，你有什么发现？ 这两道题探索性比较强，其实并不难解答，但它们有太多的相似之处，这会不会隐藏着圆锥曲线间的一些内在联系呢？对此我有一些自己的想法，在这里简单阐述一下： 首先，我们可以把这个题目进一步推广：已知定点A（-a,0）,B(a,0)（其中a〉0）动点M满足直线AM与BM的斜率之积为λ（λ≠0），求动点M的轨迹方程。 解：设M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是（-a,0），所以，直线AM的斜率kAM=(x-a); 同理直线BM的斜率kBM=(x≠a); 由已知有 =λ（λ≠0）， ⑴λ=1时, 动点M的轨迹方程为x+y=a（x≠±a） ⑵λ=时，动点M的轨迹方程为=1 （x≠±a） ⑶λ=时，动点M的轨迹方程为=1 （x≠±a） 我觉得由此可以得出圆、椭圆和双曲线的一个“第三定义”：分别与平面内两定点A1，A2相连线的两直线的斜率之积为一非零常数。其实，圆、椭圆、双曲线的方程中蕴含着上述特征，这里以椭圆方程为例进行说明: =1 =1-= =- 即kAMkBM= 其次，我们还可以从图形角度去理解： 如图设椭圆的两顶点为A1 ,A2，垂直于x轴的直线交椭圆=1于M,N两点，则直线A1M与A2N的交点P的轨迹为双曲线，其方程为=1 因为，M在椭圆上，则，而由对称性易知, 其交点必在双曲线=1上。 反之，过双曲线上任意一点M作垂直于x轴的直线交双曲线于M,N两点，A1 ,A2为顶点，则直线A1M与A2N的交点P的轨迹为椭圆，其方程为=1. 对此我们还可以用相关点法或者叫做交轨法给出较为严密的证明过程：设动点P(x,y)，M(x0,y0)，则直线A1M的方程是： y=(x+a), ⑴ 直线A2N的方程是：y=(x-a), ⑵ 联立⑴，⑵得x=;y=；则M(,),带入椭圆方程化简得动点P的轨迹方程=1(x≠±a) 总之，虽然斜率之积都为常数，仅一个正负之别，却发生了质的改变，动点的轨迹由椭圆变化为双曲线，从另一方面看，椭圆与双曲线从形状上看差异很大，但有很多共同的性质。