因式分解的所有方法.docVIP

因式分解的多种方法 编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例一：2－3x = 0 解：x ( 2x － 3 ) = 0 =0 , = 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=时，该式分解后必有一个(x-)因式。 这对我们后面的学习有帮助。 2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。 例二： － 4 分解因式 分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式 2 解：原式= (x+2)(x-2) 3】分组分解法 也是比较常规的方法。 一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来 需要可持续性！ 例三： + 4x + 4 － 可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式 解：原式= =(x+2+y)(x+2-y) 总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性 4】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。 这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数,的积×，把常数项c分解成两个因数,的积×，并使+正好是一次项b，那么可以直接写成结果 　例四： 把2－7x + 3分解因式. 　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 　　分解二次项系数(只取正因数)： 　　2＝1×2＝2×1； 　　分解常数项： 　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 　　1 1 　　╳ 　　2 3 　　1×3 + 2×1 　　=5 　　1 3 　　╳ 　　2 1 　　1×1 + 2×3 　　=7 　　1 -1 　　╳ 　　2 -3 　　1×(-3) + 2×(-1) 　　=-5 　　1 -3 　　╳ 　　2 -1 　　1×(-1)+2×(-3) 　　=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1). 总结：对于二次三项式+bx+c(≠0)，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 =，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=，把，，，，排列如下： 　　 　　 ╳ 　　 　　+ 按斜线交叉相乘，再相加，得到+，若它正好等于二次三项式 +bx+c的一次项系数b，即+=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式x+与x+之积，即 　　+bx+c=(x+)(x+). 这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。 5】换元法 整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上 例五：-2(x+y)+1分解因式 考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用代替x+y 那么原式= = 回代 原式= 6】主元法 这种方法要难一些，多练即可 即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数 例六：因式分解 　分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式 其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。 　　原式=---------------------【主元法】 　　=--------------------【十字相乘法】 可见，十字相乘十分重要。 7】双十字相乘法 难度较之前的方法要提升许多。 用来分解形如＋bxy＋c＋dx＋ey＋f 的二次六项式 在草稿纸上，将分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。 则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k） 要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例七：b＋＋－b－2分解因式 　　解：原式＝0×1×＋b＋＋－b－2 　　 ＝（0×＋b＋1）（＋b－2） 　　＝（b＋1）（＋b－2） 8】待定系数法 将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到1】中提到的知识点了 当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 例八： + x- 2 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做，+x-2=0