空间解析与几何1.5 .pptVIP

1.5 向量的外积  向量外积的定义 向量外积的性质 向量外积的坐标表示 两向量的向量积 1.5 向量的外积  向量外积的定义 向量外积的性质 向量外积的坐标表示 1.5 向量的外积  向量外积的定义 向量外积的性质 向量外积的坐标表示 * * * * 实例 定义 关于向量积的说明： // 约定:当 与 有一个向量是零向量的时候,认为 也为零向量. 向量积模的几何意义 若 为数： 定理1 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数： 的充要条件是 的终点在一条直线上. 证明 设向量 的终点分别为 .因为 例1.5.1 设 为非零向量,具有公共的起点O, 试证: 0. 所以A,B,C三点共线当且仅当 0, 即 0 例1 其几何意义是:平行四边形面积的两倍等于以它的对角线为边的平行四边形的面积 例2 思考: 1.5.2 向量外积的坐标表示 给定仿射坐标系 .设向量 与 的坐标分别为 和 ，则 在直角坐标系 中： 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 // 两向量平行的充要条件： 定理1.5.1 设向量 在直角坐标系 中的坐标分别为 则 的坐标为 (1.5.2) 为便于记忆，将上式形式地写成 (1.5.3) 该行列式按第一行展开. 例3: 求垂直于向量 a = {2, 2, 1}和b = {4, 5, 3}的向量c. 解: a ? b 同时垂直于a、b = 6i + 4j + 10k ? 8k ? 6j ? 5i = i ? 2j + 2k 取 c = a ? b = {1, ?2 , 2}. 显然, 对于任意 ? ? 0?R, ?c = {?,?2?, 2?} 也与a、b垂直. 解 解 三角形ABC的面积为