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现代控制理论 Modern Control Theory (11) 俞 立 浙江工业大学信息工程学院 李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用 参数优化问题 x A x x( ) ,x (0)α 0 系统模型： 选择参数α，使得系统是渐近稳定的，且具有一定性能 性能：稳态性能；动态性能 稳态性能：稳定性、稳态误差 动态性能：上升时间、调节时间、超调、振荡、 稳定性：应用李雅普诺夫方法 问题：动态性能如何刻画？ x A x x( ) ,x (0)α 系统模型： 0 考虑函数x(t) 的曲线 ∞ ∞ 面积 ∫0 x (t)dt ⇒ ∫0 x 2 (t)dt 两个变量： ∞ [x 2 (t ) +x2 (t )]dt ∫0 1 2 ∞ [αx 2 (t ) +α x2 (t )]dt ⇒ ∫0 1 1 2 2 ∞ T 一般的：J x Qx dt ∫ 0 积分二次型 Q是对称加权矩阵。 性能指标 性能指标最小化反映动态性能的优化。 选取参数α使得系统x A(α)x 稳定 ⇔对任意给定的对称正定矩阵R A P PA( )α =+R( T )α − 存在惟一对称正定解矩阵P 。 x (xV)Px T 是系统的李雅普诺夫函数，且 xd V( ) dxt Rx − T 对上式积分，并利用渐近稳定性， ∞ T ∞ d V(x ) T − x Rxdt ∫ dt V( x(∞)) −V(x(0)) =−x0 Px0 ∫0 0 dt 即： ∞ T T 通过求解一个代 x Rx x Px dt ∫ 0 0 0 数方程来求积分 ∞ T T ∫0 x Qxdt x0 Px0 其中，P是以下李雅普诺夫方程的对称正定解矩阵：