数学专业毕业论文(有理数域上多项式不可约的判定).docVIP

编号 2010212004 毕业论文 （2014届本科） 题 目: 有理数域上多项式不可约的判定 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 张福伟 指导教师： 魏平 职称： 副教授 完成日期： 2014 年 05 月 20 日 有理数域上多项式不可约的判定 张福伟 指导教师:魏平 (河西学院数学与应用数学专业2014届2班49号, 甘肃张掖 734000) 摘 要 判断整系数多项式在有理数域上的不可约性,艾森斯坦判别法是高等代数中给出的主要方法之一.本文在艾森斯坦判别法的基础上将其推广,并补充了其它的判别方法,使得有理数域上多项式不可约的判定方法更为系统化. 关键词 多项式; 有理数域; 不可约; 艾森斯坦判别法. 中图分类号 O152.2 The Determination of Irreducible Polynomial in the Field of Rational Numbers Zhang Fuwei Instructor Wei Ping （No.49, Class 2 of 2014, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye, Gansu,734000） Abstract: Eisen stein discriminant method is one of the main methods in higher algebra to determine the integral coefficient polynomial over the rational number field of irreducibility. In this paper, I mainly promote the Eisen stein discriminant method on the basis of it, and add other distinguishing methods, making the method of determination more systematic on the field of rational number about irreducible polynomial. Keywords: polynomial; the field of rational numbers; Irreducible; Eisen Stein discriminant method. 1 引言 众所周知,多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中的重要概念.在高等代数课本中多项式部分只讲述了有理数域上存在任意次不可约多项式这样一个事实,并介绍了艾森斯坦判别法.但艾森斯坦判别法只是一个充分条件,还存在着大量的不可约多项式不能用艾森斯坦判别法判别.本文在现有不可约多项式判定方法的基础之上做了一些探讨,给出了一些其它的判别方法使得有理数域上多项式不可约的判定方法更加地完善. 2 预备知识 引理1[1] 如果数域上次数大于零的多项式不能表示成数域上两个次数比它低的多项式的乘积,则称是数域上的不可约多项式. 引理2[1] 如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 引理3[3] 设,是一个整系数多项式,如果满足 . 则在有理数域上不可约. 引理4[1] (艾森斯坦判别法)设是一个整系数多项式,如果存在一个素数,使得 1.; 2.|; 3.2; 那么在有理数域上是不可约的. 引理5[5] 设是一个整系数多项式,如果存在一个素数满足 1.; 2.(是一个小于的非负整数); 3.2; 则多项式在有理数域上有次数的不可约因式. 高等代数中介绍了艾森斯坦判别法,它是判别整系数多项式为不可约多项式的一个非常有用的方法,但是这个方法使用起来有局限性.下文主要介绍几种其它的判别方法,使用这些判别法我们可以判断一些无法用艾森斯坦判别法判断的不可约多项式. 3 有理数域上不可约多项式的判定方法 3.1 艾森斯坦判别法的间接应用 定理1 有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是,对于任意的有理数和,多项式在有理数域上不可约. 证明