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数学中的抽象美 　　在绘画与教学中，美有客观标准。画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、…… —哈尔莫斯 　　数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。 —R．D．Carmicheal 　　自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。 —C．N．杨 　　(恩格斯)。 　　数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。 　　(伽利略语)。 　　物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。 　　在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。 　　当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。 　　数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。 　　(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学；而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。 　　(Laplace)方程 　　 　　(当然，方程自身的形式也是很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也是数学本身的一大特点。 　　抽象是数学的美感中的一个重要部分，还因为数学的抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中，尽管这种气氛有时距离具体经验太遥远。 　　H．史坦因豪斯在其名著《数学一瞥》中，有这样一句挑战性的话： 　　2257-　　1=231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168015826259279871 　　(证明某些东西存在，尽管还没找到它)，数学家正是依据数学抽象的特点，巧运新思才得出这个“未卜先知”的断言(这些因子在八十年代人们利用了电子计算机的帮助而找到了)。这也是数学用抽象推理去判断以别于其他学科的标志之一。 　　“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义： 　　(1)(或意想不到)的； 　　(2)(或与现实较脱节)的。 　　对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。我们先来谈谈前者。 　　下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？ 　　乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了： 　　d，三个小半圆直径分别为d1、d2、d3。 　　d1+d2+d3=d，有π(d1+d2+d3)=πd， 　　d1+πd2+πd3=πd， 　　此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。 　　15米后，绕着赤道一周悬在空中(如果能做到的话)，你能想象得出吗：在赤道的任何地方，一个身高2米39以下的人，都可从绳子下自由穿过！ 　　它的道理只须稍加计算便可明晓。 　　R，则绳子原长为2πR。当绳子长为2πR+15时，绳子所围圆周的半径是： (2π+15)÷2π=R+15／(2π)=R+2.39(m)。 　　(即绳子围成的圆圈半径与地球半径之差)2.39米的大圆圈。 　　15米，绳子居然处处离地球2米以上。然而严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的(可谁又能亲手去试验一下？)。 　　话还得讲回来，正因为数的抽象，人们难以体会，因而有时也须将它形象化之后，才能为人们接受。 　　10－10m，这看上去很抽象，它到底有多小？如果作个比方：“一个原子与一滴水之比”，就如“一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。 　　有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊…… 　　1980年在纽约和日内瓦举行联合国会议期间，仅九月至十二月，共印刷二亿三千五百万页文件，而全年共印刷大约十八亿页文件。如果把这些文件首尾粘起来，将长达二十七万公里。 　　照此速度印发文件，两年内文件总长可铺至月球。 　　1.5倍(指长、宽、高三度)的骨牌。 　　l∶1.5的尺寸作一套13张的骨牌，若最小者为9.53×4