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关于任意角的三等问题 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 105012007016 张成娇 【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究. 【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究； 一、前言 《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义． 本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明. 二、关于任意三等分角的历史 在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否: ①将一个给定角三等分? ②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？ ③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？ 以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题. 其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849 - 1925) 总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题. 三、用数域扩充的方法证明 对于任意角不能三等分证明有许多的方法，如：1801年数学家高斯的证明方法：作圆的n等分，当n满足如下特征其中，m为非负整数，、为互不相同的费马素数（前5个费马素数为3,5,17,257,65537），. 在此主要是考虑到中学生的数学知识水平以及课程标准中对数域的要求，因而用采用数域扩充的方法来证明. 1.预备知识 (1)尺规作图的公法:①从任意一点到另一点,可作一直线;②任意有限长的线段,可顺着延长;③ 由一已知点及定距离,可作一个圆(说明的是圆规的用法). (2)可构作的概念: 经过平面上的两点，用直尺可以画一直线；经过一点用圆规可以画一个半径等于给定线段的圆，直线与直线、直线与圆和圆与圆都可能相交，这样的交点称为是用尺规可以构作的点，若交点在数轴上，也称对应的长度(实数)是可以构作的. (3)相关定理、概念 定理1 设是的一个子域，则实数a可由构作的充要条件是存在的子域链，使得， 且. 推论2 设是的一个子域，，如果a可由构作，则必存在整数r≥0，使得. 定理3 设是一个角，另，则角可用尺规三等分的充要条件是多项式，在中是可约的． 2.证明 证: 设是一个经过原点以轴为一条边的角，过原点作一半径为1的圆，圆与角的另一条边的交点的横坐标为 角可构作的充要条件是实数可构作 令,,，则问题化为能否由构作 有三倍角公式: 是多项式的一个根 假设在中可约,则由于是的根,而是3次的,所以或是上的一个二次不可约多项式的根.若是前者,显然可以由构作;若是后者, 则有,于是是可以由构作的 当在中可约时, 可以由构作的,从而可构作 假设在中不可约,则就是在上的极小多项式,从而有 不可由构作,即不可构作 三等分任意角是不可能的 3.举例说明 例如,角是不能用尺规三等分的,因为此时,在中不可约 四、可三等分的特殊角 用尺规将三等分一个