代数不等式的应用技巧之知识篇.docxVIP

代数不等式的应用技巧在本节的介绍中，我们只涉及一些预备知识及某些总结，在下一节里我们会重点探寻不等式证明的技巧。数学归纳法数学归纳法是证明一些n元不等式的有力工具，它的形式也非常丰富，技巧性也十分强，下面就介绍最常用的四种归纳法：一第一数学归纳法（简称数学归纳法）设P（n）是关于正整数n的一个命题，如果当n=1时，P（n）成立；假设P（k）成立，可推出P（k+1）成立。其中k≥1。那么，对任意nN*,P（n）都成立。二第二数学归纳法设P（n）是关于正整数n的一个命题，如果P（n）和Q（n）当n=1时，P（n）成立；假设P（n）对n≤k都成立，可推出P（k+1）成立。那么，对任意nN*,P（n）都成立。三倒推归纳法设P（n）是关于正整数n的一个命题，如果P（n）对无穷多个正整数成立；假设P（n）对k成立，可推出P（k-1）成立。那么，对任意nN*,P（n）都成立。四二重归纳法设命题P（n,m）是与两个独立的正整数n,m有关的命题，如果P（1，m）对一切mN*成立，P(n,1)对一切nN*成立；假设P(n+1,m)和P(n,m+1)成立时，可推出P(n+1,m+1)成立。那么命题P（n,m）对所有的正整数n,m都成立。以上四种归纳法几乎是百分之九十九的归纳法证题中出现的，后面我们将通过一些题目来深刻理解它们的作用。几个著名的不等式一均值不等式设均为正数，我们则有下式成立：这个均值不等式的证明方法有很多，下面我们就选取倒推数学归纳法来证明：当n=2时，不等式显然成立；如果不等式对n成立，则当2n时，我们有所以不等式对2的幂次方都成立。假设不等式对n成立，我们设，，则化简得，所以，不等式对n-1也成立。在这里，我想有些同学会有点想不明白，为什么在假设n成立的时候会构造出这个“特殊项”？可以是其他的值啊，不一定是这个“特殊项”啊，这样证明不就是有点特殊化处理的意思了吗？以前就有同学问过这种类似的问题，那么现在就具体来讲讲这样做到底存不存在纰漏。首先，我们选取任意n-1个数；其次，因为我们假设不等式对n成立，也就是说，任意的n个正数都满足不等式，那么我从任意当中选取一组当然也成立；最后我们根据我们选取的n时的不等式进行化简，得到n-1时的不等式，恰好也成立，而这n-1个数是我们一开头任取的，所以满足普遍性，所以均值不等式就证完了！从中我们也可以看出数学归纳法的技巧性确实很强，在以后的学习中我们会进一步体会到。二柯西不等式设是两串实数（正负均可），则有其中当且仅当时等号成立。同样，柯西不等式的证明方法也很多，下面给出两种证明方法。方法一：构造二次函数，整理得因为0，所以判别式0，即柯西不等式成立。若=0，则，这也是柯西等号成立的条件。方法二：由恒等式，我们有0证毕！（其中该恒等式称为拉格朗日恒等式）其实，这种形式的柯西在解题中用的并不是很多，相反，下列推论倒用的蛮多的：推论1 设是正实数，则，当且仅当时等号成立。推论2 设是实数，则，当且仅当时等号成立。推论3 如果是正实数，则有下列变形：变形1 变形2 变形3 上述三种变形对解决不等式证明非常有用！三凹凸不等式凹凸不等式就是利用函数的凹凸性来证明大小的手段，这不仅出现在自主招生和竞赛中，近几年也频频出现在高考中，以它为背景的高考题层出不穷，下面我们来具体介绍。定义设连续函数对任意的，及，且满足。若，则称，其中等号当且仅当时取得。若，则称，其中等号当且仅当时取得。判断一个函数为凹凸函数的方法就是，对这个函数求两次导，若值大于0，那么它在区间上是凹函数；若值小于0，那么它在区间上是凸函数。四排序不等式和切比雪夫不等式（排序不等式）设，是1,2，…，n的一个排列，则我们有（同序和）（乱序和）（倒序和）这里引申出一个小小的很有用结论（推论）：设为正实数，为正整数，则有（切比雪夫不等式）若或者，则有若，则有切比雪夫的证明由排序不等式显然得出。五伯努利不等式若，当且仅当x=0或n=1时等号成立。这个用导数不难证明，下面给出有用的推论：推论若，当且仅当t=1或n=1时等号成立，往往这个形式的伯努利不等式更常用。六舒尔不等式舒尔不等式对于解决三元四元的不等式证明非常给力，虽然三四元的不等式已渐渐退出了竞赛，但自主招生或初赛还是得准备的，以防万一。设则对于任意，都有当且仅当或者中有两个相等，第三个为0。下面给出证明：由于轮换对称性，不妨设，分类证明之当=0时，我们有当时，我们有当时，我们有所以综上可得舒尔不等式的强大是在于它的取等条件不止一种，而且它形式的一般性决定了它的变幻莫测，因为我们可以通过对r的不同选取直接导致各种高次方不等式的产生，而选取r=1，则下面的变形是它最常用的证明手段：变形1 我们把它简记为变形2 我们把它简记为变形3 我们把它简记为变形4 我们把它简记为以上各种变形须熟记在心，把它们运