高中竞赛常用不等式.docVIP

高中竞赛常用的不等式 1．柯西不等式，其中等号成立条件为。 附： 给出大家可能没见过的证明: 对于一元二次方程 等价于， 该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即 ， 得证，且等号成立条件，。 2．四个平均的关系： 平方平均，算术平均，几何平均，调和平均。 满足关系：，其中等号成立条件为。调和平均不常用。 3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：，，则有 （同序和） （乱序和） （逆序和） 。 其中是1,2,…,的一个排列。 4．切比雪夫不等式：若，，则有 。 附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。 5．关于凸函数的琴生不等式： 的二阶导数，则为下凸函数；的二阶导数，则为上凸函数。凸函数有琴生不等式性质： 若在区间为下凸函数，则对， 总有； 若在区间为上凸函数，则对， 总有。 附：应用，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 ，等号成立条件。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的 ，等号成立条件。