第二讲 方程与不等式应用(老师使用).docVIP

第二讲 方程与不等式的应用 一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。 一、不等式与方程的综合题 例1．已知关于x的方程组的解满足x＞y，求 p的取值范围。 解法一： （1）×3+（2）×（-2）：x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p-6 解法二：（整体代入） （2）-（1）：x+y=-2 （3） 把（3）代入（1），x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 x＞y，所以p+5＞-p-7，解得p-6 ?练习：若，，、、皆为非负数，求的取值范围。 解： （1）+（2）：4x+2y=80 , y=40-2x （3） 把（3）代入（1）：z=x-10 （4） 所以：M=-x+140即x=140-M （5） 分别将（5）代入（3）（4）： 解得 所以 二、不定方程（组） 在实际生活中，我们还会遇到未知数的个数多于方程的个数的方程（组），这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。 例3．若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？ 解：设有只蟋蟀，只蜘蛛，则有： （称之为不定方程） ……① 下面求此方程的非负整数解 由①得：……② ∵ ∴ ∴ 用＝0，1，2，3，4，5代入②式： 当＝0时，不为整数，舍去 当＝1时，不为整数，舍去 当＝2时，为非负整数，符合条件 当＝3时，不为整数，舍去 当＝4时，不为整数，舍去 当＝5时，为非负整数，符合条件 所以原不定方程的非负整数解为或 ?练习：有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？ 解：设分成5米长的有条，分成3米长的有条，则有： （称之为不定方程）……① 下面求此方程的非负整数解 由①得：……② ∵ ∴ ∴最大取7 用＝0，1，2，3，4，5，6，7代入②式： 当＝0时，不为整数，舍去 当＝1时，为非负整数，符合条件 当＝2时，不为整数，舍去 当＝3时，不为整数，舍去 当＝4时，为非负整数，符合条件 当＝5时，不为整数，舍去 当＝6时，不为整数，舍去 当＝7时，为非负整数，符合条件 所以原不定方程的非负整数解为，， ?练习：某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可能有多少种不同的买法？ 解：设买一元邮票张，8角邮票张，2角邮票张。根据题意得： （此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数） 下面我们求此不定方程组的正整数解 由（2）得：……（3） 由（3）－（1）得： ∵ ∴ ∴的最大整数取13 经验证当＝1，4，7，10，13时，取正整数 ∴原方程组的正整数解为：，，，， 所以共有5种不同的买法。 三、含绝对值的一元一次方程： （一）形如方程的解法 例6． 解下列方程 （1） 解法1：（分类讨论） 当5x-20时，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提x，所以此时方程的解是x=1 当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解 当5x-20时，即x， 5x-2= -3，x= 因为x=符合大前提x，所以此时方程的解是x= 综上，方程的解为x=1 或x= 注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想：时，a=±3 类比：，则5x-2=3或5x-2=-3 解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x= ?练习： 解： 即： 所以，方程的解为x=6或x=-6 例7．解方程 解法1：当4x+20时，即x， 4x+2=x-1， x=-1 因为x=-1不符合大前提x，所以此时方程无解 当4x+20时，即x， 4x+2= x-1，x= 因为x=不符合大前提x，所以此时方程无解 综上，原方程无解 解法2：4x+2=x-1或4x+2= 1-x 解得x=-1或x= 因为x-10即x1 所以原方程无解 解法3：因为x-10即x1，此时4x+20 所以4x+2=x-1， x=-1