第六节 高斯公式幻灯片.pptVIP

一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例3. 例5 计算曲面积分 其中 是曲面 的上侧。 (2004,数一,12分) 又 从而 P239：1，4 P248： 2（2），（3），（4） 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 高 等 数 学 前一页 后一页 返 回 广 东 工 业 大 学 第六节 高斯公式 一、高斯公式 二、简单应用 三、小结 格林公式： 描述了在闭曲线L上的曲线积分 与L所围闭区域D上的二重积分 之间的关系。 在空间闭曲面? 上，可以作 曲面积分 在?所围空间闭区域 ? 上， 可以做三重积分 因此在?上的曲面积分与在? 上的三重积分必存在某种联系。 定理1 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 则 取下侧 取上侧， 母线平行于z轴的柱面，取外侧 所以 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具 ------------------高斯公式 两类曲面积分之间的联系 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. ------------------高斯公式 例1 计算曲面积分 ,其中Σ为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧. 例1 计算曲面积分 ,其中Σ为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧. 解 这里 于是 (用柱面坐标) 从而 例1 计算曲面积分 ,其中Σ为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧. (用柱面坐标) 从而 例1 计算曲面积分 ,其中Σ为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧. (用柱面坐标) 从而 例1 计算曲面积分 ,其中Σ为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧. 从而 使用Guass公式时应注意: 分片光滑;闭曲面. 在 上具有一阶连续偏导数. 3.Σ是取闭曲面的哪一侧. 外 侧 例2 计算曲面积分 ,其中Σ为锥 介于平面 之间的部分的下侧, 是Σ在 处的法向量的方向余弦。 面 例2 计算曲面积分 ,其中Σ为锥 介于平面 之间的部分的下侧, 是Σ在 处的法向量的方向余弦。 面 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面,为利用高斯公式 例2 计算曲面积分 ,其中Σ为锥 介于平面 之间的部分的下侧, 是Σ在 处的法向量的方向余弦。 面 根据对称性可知 从而 上式 例2 计算曲面积分 ,其中Σ为锥 介于平面 之间的部分的下侧, 是Σ在 处的法向量的方向余弦。 面 又 故所求积分为 例3 设函数 和 在闭区域 上具有一阶及二阶连续 偏导数,证明 其中 是闭区域 的整个边界曲面, 为函数v 沿 的外法线方 向的方向导数, 称为拉普拉斯(Laplace)算子. (格林第一公式) 例3 设函数 和 在闭区域 上具有一阶及二阶连续 偏导数,证明 其中 是闭区域 的整个边界曲面, 为函数v 沿 的外法线方 向的方向导数, 称为拉普拉斯(Laplace)算子. (格林第一公式) 解 由方向导数定义,有 于是 (利用高斯公式) 例3 设函数 和 在闭区域 上具有一阶及二阶连续 偏导数,证明 其中 是闭区域 的整个边界曲面, 为函数v 沿 的外法线方 向的方向导数, 称为拉普拉斯(Laplace)算子. (格林第一公式) 移项即得格林第一公式. 例6 计算 其中 为上半球面 的上侧。 (2002-2003下学期) 例6 计算 其中 为上半球面 的上侧。 (2002-2003下学期) 解 设 取下侧, 与 围成的区域记为 , 于是,由高斯公式,有 又 从而 例7 设 是锥面 的下侧,求曲面积分: (2006) 例7 设 是锥面 的下侧,求曲面积分: (2006) 设 ，取上侧， 则由高斯公式有 故 解 与 围成的区域记为 , 又 例8 设 为光滑闭曲面的外侧,V 为 所围区域,函数 (2005级) 在V 与 上具有二阶连续偏导数,证明: 为沿曲面 的外法线方向的方向导数, 其中 例8 设 为光滑闭曲面的外侧,V 为 所围区域,函数 (2005级) 在V 与