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力的虚功原理求解 [摘要]系统阐述的虚功原理的基本内容及应用条件，结合广义坐标，推导出广义力的求解表达式，并给出虚功原理在求解静电磁力的具体应用。 [关键词]虚位移；广义坐标；广义力；虚功原理 引言 力是改变物体运动状态的原因，是物体与物体之间的相互作用，也是研究力学系统运动变化规律和能量等问题中的一个重要物理量。然而，实际力学系统的复杂性以及力的矢量性，使得实际应用中对力的求解往往较难，并不是列几个力学方程或者根据某些定律就可以求得。考虑到功和能量的标量性及能量守恒定律，使得功的求解相对而言较为简单，由于功和力之间存在必然的联系，因此在大多情况下，由功求力就方便的多。虚功原理正是基于此而得到广泛应用，本文系统的阐述了虚功原理的基本内容，分析了虚功原理的应用条件及基本方程，结合广义坐标给出广义力的计算表达式，并探讨了虚功原理在求解静电磁力中的具体应用。 虚功原理 虚功原理是重要的力学基本原理，广义坐标是分析力学的特征之一。对于完整力学系，独立坐标的个数称为力学系的自由度。如果n个质点组成的力学系受到k个完整约束 ， 则力学系的3n个坐标被k个方程所连系，使得独立的坐标减少到个，即系统的自由度为。既然只有个坐标是独立的，我们就可以利用约束方程把力学系的3n个坐标用s个独立变量 表示出来，即 或 这个独立变量叫做力学系的广义坐标。对于完整力学系，广义坐标的个数等于自由度的个数。 广义坐标可以是力学系原来3n个中的s个，也可以是由这个坐标经可逆变换得出的一组独立变量。因此广义坐标可以是线坐标，也可以是角坐标，甚至于可以是面积、体积、极化强度等与坐标的概念毫不相干的变量。可见，广义坐标是坐标概念的推广，利用广义坐标可以描述力学系的运动，确定力学系的位形[1]。 既然广义坐标是任意选取的一组独立变量，因此就存在选择是否得当的问题。我们应该根据各种问题的具体特征，尽量使所选的广义坐标能反映力学系的性质，便于求解力学系的运动或平衡。 广义坐标是分析力学中一个极其重要的概念。广义坐标是坐标概念的推广和抽象化。由于坐标概念的推广，导致力学中一系列概念的推广。除了广义速度、广义动量而外，以后我们还要定义广义力、广义能量等重要的力学量。由于引入广义坐标，力学规律的表述不再是直观的矢量形式，而成为广义坐标下更为概括、更为抽象的形式，因此，人们有时把分析力学叫做广义坐标下的力学理论。 在表述虚功原理中起重要作用《力学词典》对虚功原理的叙述是：受理想、双面、定常约束的质点系保持平衡的必要和充分条件是所有作用在质点系的主动力对其作用点的虚位移所作的虚功之和为零。对质点系而言，其数学表达式为 （1） 式中是作用在第个质点上的主动力，是此质点的虚位移[2]。若质点系所受约束是完整的，且自由度为N，则可引入N个描述完整系统位形的独立坐标，即广义坐标：，于是从式（1）导出平衡方程： ， （2） 称为对应于的广义力。当主动力为有势力时，式(2)等价于 ， （3） 式中为质点系的势能函数。值得注意的是，有一类广义坐标却使广义力在平衡位置上不为零。例如约束在 (铅垂面内)上的质点，若选y为广义坐标就是这种情况。 虚功原理的应用 我们知道，虚功原理的基本式是式（1），它涉及主动力及其作用点的虚位移而不直接涉及广义坐标。广义坐标是为了描述质点系的位形而引入的，其优点是使一个在Descartes 坐标空间上的约束系统转化为广义坐标空间上的自由系统。主动力及其作用点的虚位移与质点系的位形有关，虚位移还需用广义坐标的变分来表达。问题是对于选定的广义坐标及其变分是否一定能表达广义坐标值域上质点系的虚位移和广义力？对于选定的广义坐标是否一定能表达质点系的所有位形？回答是否定的。 我们从平衡条件式（2）和（3）的导出过程着手分析。对于N维定常质点系统选定的一组广义坐标 ， 。显然，虚位移表达式 （4） 只在 定义域的交集中成立。一般有。这一点是关键而很容易被忽视，从而产生虚位移和广义力的定义域就是广义坐标的值域的误解，于是就有了所谓的问题。平衡位置与定义域和D的关系有3种情形： 1）平衡位置。此时虚功原理式（1）可化作 （5） 于是，有平衡条件式（2），进一步，若主动力为有势力时，有平衡条件式（3）。换言之,虽然广义坐标的值域是D，但式（5）