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对甲型H1N1流感预测和控制的数学模型 07级1班 余晓国 学号：20071021107 摘要：甲型H1N1流感的出现使人们再一次清醒认识到 ,人类在发展,新发疾病也在不断出现 ,人类与疾病的搏斗将永远没有止境,因而对传染病模型施加有效控制的各种方法也应运而生。本文利用传染病模型对本次甲型H1N1流感的情况作一些预测，并对传染病施加隔离控制,有效地控制疫情的蔓延,最终消除该传染病。 引言：2003 年春夏暴发的SARS 疫情，带给我们的恐惧和惊慌仍然记忆犹新；今年4 月由墨西哥引发继而波及全球21个国家和地区甲型H1N1流感事件，引起了世界各国人民关注，甲型H1N1流感的出现使人们再一次清醒认识到 ,人类在发展,新发疾病也在不断出现 ,人类与疾病的搏斗将永远没有止境,因而对传染病模型施加有效控制的各种方法也应运而生。本文所研究的是对传染病模型施加隔离控制,其目的就是要提高p,降低Imax ,从而有效地控制疫情的蔓延,最终消除该传染病。 关键字：甲型H1N1 传染 预测 模型 模型假设及符号约定： 1、假设所研究地区的的总人数N不变，即不随时间变化而变化。把所研究地区的人群分为易感染人群（S）、已感染人群（I）和消除人群（R）（即健康的不易被感染的人群）。时刻t这三类人的总人数分别为S(t)、I(t)和R（t） ，则有 S（t）+I（t）+R（t）=N 。 2、设易感者由于受传染病的影响，其人数随时间而变化的变化率k与当时易感者的人数和当时染病者的人数之积成正比。 3、设从染病者人群到消除者人群的速度v与当时染病者类的人数成正比。 4、假设在所研究的时间区域内没有人口的自然出生与死亡率，即可得传染病的数学模型(SIR模型)。 二、模型建立 根据假设，则有 (1) (2) (3) 初值 S（0）=S00, I(0)=I00, R(0)=0。其中参数k0称为传染率，v0称为移除率，称为相对移除率，不妨设N=l，则有 S（t）+I（t）+R（t）=1 三、模型求解与分析 （Ⅰ）、若S0p，则当t增加而趋于无穷时，染病的数量I(t)单调下降趋于零；若S0p，则当t增加时，染病者的数量I(t)增加到一定数量Imax后就单调减少趋于零，并且存在，它是下超越方程的唯一正根: 从图1中看出，如果初值(S0，10)落在直线S=p的左边，随t增加I(t)单调下降趋于零，也即流行病逐渐减少最终消失；若S0p，则染病类的人数I（t）先是逐渐增加，直到S通过p染病者类的人数达到极大值后才开始下降，而后逐渐趋于零. （Ⅱ）、 在(1一3) 式中，当S0、10为定值、pS0时，染病者的数量I（t）所达到的最大值Imax为p的减函数. 证：由(l)、(2)消去dt，可得: （4） 当S=S0,I=I0时，（4）式的解为 当S=p时，I（t）最大，此时 所以 显然，当pS0时，，从而Imax为p的减函数。 也就是说，随着p的增大，染病者的最大值Imax减小，控制的目的就是要增大p的值，使Imax的值减小。 当pS0时，I（t）数有个高峰值，如果这时无特效药治疗，这就意味着随患病人数的增加，死亡率也随之增加，从而给人类带来的灾难就越大.那么如何对此进行控制，使得对任意初值(S0，I0)随t增加，I（t）调下降趋于零，并且Imax=I0，则使Imax控制在理想数值范围之内是十分重要的，控制的方法有多种，其中之一是对I类人群采取隔离控制，设隔离率为m，且m0，则式(l)(2)变为 (5) 由（5）式得 (6) 令，即，由（Ⅰ）得，当SS0时，，由此可得以下结论； （Ⅲ）、当时，Imax=I0，染病者随着t增加而减少，当t趋于无穷时，传染病最终消除；当 时，情形如同（Ⅰ），I（t）人数仍有个高峰值。因而，对传染病模型施加隔离控制时，隔离率必须满足一定条件，才能达到控制Imax，防止此传染病蔓延的目的. 如果此次全球性暴发的甲型H1N1流感符合(1)一（3)的SIR模型，截至2009年11月30日,中国内地已有甲型H1N1患者92904例，治愈26830例，死亡200例.设内地人口总数为12亿人.以下为网上查询到的数据: 9-11月甲型H1N1日均发病统计表 日期 9月2日 9月4日 9月7日 9月9日 9月11日 9月14日 9月16日 9月18日 9月21日 9月23日 9月25日 112 217 392 43