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数值分析考试重点课件
总 复 习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于近似值末位的半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到数位共有n位,则称这n个数字为x的有效数字,也 称用x近似x*时具有n位有效数字。
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1.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数;
了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
2.了解方程组的性态,会计算简单矩阵的条件数。
二、解线性方程组的迭代法
3.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式;会判定迭代方法的收敛性。
(1)迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.
(2)迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.
(3)A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.
(4)A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.
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三、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围
2.掌握矩阵的直接三角分解法。
顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解(GGT)。
了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。
了解平方根法和追赶法的思想。
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2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
七、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).
2.会建立简单迭代法迭代格式;会判定迭代方法的收敛性。
定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.
推论 若1.a(x)b; 2.|(x)| L1, x[a,b].则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.
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3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.
4.会建立Newton迭代格式;知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
(1) xkp阶收敛于是指:
推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|1, 则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.
(2) 若()0,则迭代法线性收敛.
局部平方收敛.
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1.了解差商的概念和性质.
四、插值与最小二乘法
Lagrange、Newton、Hermite插值多项式;基函数法及待定系数法。
2.会建立插值多项式并导出插值余项.
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
4. 了解正交多项式的概念,会求简单的正交多项式。
5. 掌握最小二乘法的思想,会求拟合曲线及最佳均方误差.
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1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
2.掌握求积公式的代数精度的概念,会用待定系数法确定求积公式。
五、数值积分与数值微分
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