随机变量的期望与方差.docVIP

8. 8 随机变量的期望与方差 一、知识要点 二、例题分析 三、规律总结 四、巩固练习ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平 期望的性质：（1）（2）若服从两点分布，则 （3）若ξ～B(n，p)，则np． 2．方差: 由上述分布列，我们把＝＋＋…＋称为随机变量ξ的均方差，简称为方差。 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 方差的性质：（1）；（2）若服从两点分布，则 （3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p) 3．正态分布 （1）正态函数，式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，当时得到标准正态分布密度函数： （2）正态分布是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布，正态分布曲线的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交 ②曲线关于直线x=μ对称 且当x=μ时，曲线位于最高点 ③曲线与x轴之间的面积为1 ④当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移 ⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中： （3）由正态分布曲线的特征，可以求得 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并称之为原则。 **双基落实** 1．抛掷两个骰子，至少有一个点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（） A/3 B．55/9 C．80/9 D．50/9 2．已知，则的值分别是 （ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 3．设随机变量服从正态分布,若,则c= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4．设离散型随机变量ξ满足Eξ－l，Dξ3，则3ξ－等A．9 B．6C． D．X服从正态分布，则P（X0）= P(－2X2)= **范例分析** 例1（1）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ） A． B． C． D． （2）设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，记φ(x)＝p(ξx)，给出下列结论： ①φ(0)＝0．5；②φ(x)＝1－φ(－x)；③p (｜ξ｜2)＝2φ(2)－1。则正确结论的序号是_____________ （3）已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110，52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？ （ ） A.（90，110］ B.（95，125］ C.（100，125］ D.（105，115］ （4）设X～N（5，1），则P（6＜X＜7）=______________. 例2有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中和分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好. 例3.(2008全国卷理) 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望. 例4（2009浙江卷理）在这个自然数中，任取个数． （）求这个数中恰有个是偶数的概率； （）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望． ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2．对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变