坐标系中斜三角形面积求法应用.docVIP

坐标系中斜三角形面积求法应用在初中数学中，求斜三角形面积是一个难点，通常成为竞赛和中考压轴题的重点考查内容。笔者对此类问题的解法和应用作如下探究和归纳。 例1(天津竞赛题)如图1，y=-33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P(a，12)，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值。 解法一分割法 这种方法通常用x轴、y轴或者作x轴、y轴的平行线把一个三角形分成两个三角形，这两个三角形同底，而它们高的和是常数或者可以用同一个变量来表示，从而可以求出斜三角形的面积。解法如下： 过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交直线AB于点E(如图1)。 由直线y=-33x+1， 得OB=1，OA=3， 所以AC=AB=2， S△ABC=12AB·AC=2， S△PEB+S△PEA=S△PAB=S△ABC=2， 即12PE·BD+12PE·OD =12PE·OB=2。 把y=12代入y=-33x+1得 x=32， 则PE=32-A. 所以12×(32-a)×1=2， 解得a=3-82。 类似地，△PBA的面积也可以竖直地进行分割(如图2)，以y轴为分割线把△PBA分割成△PBD和△ABD，解决问题的方法类似，略解如下： 设AP交y轴于点D，过点P作PE⊥y轴于点E。 设AP:y=kx+b，把P(a，12)、A(3，0)代入解得b=32(3-a)。 再利用S△PDB+S△BDA=S△PAB =S△ABC=2， 即12BD·PE+12BD·OA=2， 解得a=3-82。 显然，此问题中水平分割法求△PBA的面积比较简捷，所以读者在解决此类问题时注意适当选用分割方法。 解法二补形法 这种方法通常作辅助线，把原三角形补成面积易求的图形，利用图形面积差来解决问题。方法是补形后的图形的底或高在坐标轴上或与坐标轴平行(如图3)。 解法如下：连结OP。 因为S△PBA=S△OAB+S△OBP-S△OAP， 所以12OA·OB+12OB·|xP|-12OA·|yP|=2 (其中，xP、yP分别表示点P的横坐标和纵坐标)，即 12×1×3+12×1×(-a)-12×3×12=2， 解得a=3-82。 另外，此问题还可以延长BP交x轴于点D，用△BDA与△PDA面积之差等于2来解决问题。 解法三构造法 原三角形是一个斜三角形，它的面积比较难求，所以可以考虑构造一个与之面积相等的新三角形，而新三角形的面积是易于求解的。构造的方法是：作原三角形底边的平行线，利用同底等高的三角形面积相等来构造新的三角形。 解法如下：如图4，过点P作PD∥AB，交y轴于点D. 设PD：y=-33x+b， 把点P(a，12)代入解析式，得 b=12+3a3， 所以BD=12-3a3， 而△PAB与△DAB同底等高， 所以S△PAB=S△DAB=S△ABC=2， 即12BD·OA=2， 12(12-3a3)×3=2， 解得a=3-82。 以上是坐标系中斜三角形面积的常见三种求法，而近几年全国各地中考试题中也经常考查此类问题，以下仅举几例，以飨读者。 例2(2009年江西)如图5，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D. (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式。 解(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线的对称轴是x=1。 (2)①设直线BC：y=kx+B. 把B(3，0)，C(0，3)分别代入， 解得k=-1，b=3。 所以直线BC：y=-x+3。 再分别令x=1,x=m，求得E(1，2)，P(m,-m+3)。 由y=-x2+2x+3，得D(1，4)， F(-m,-m2+2m+3), 从而DE=4-2=2， PF=-m2+2m+3-(-m+3) =-m2+3m。 因为PF∥DE， 所以PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形。 由-m2+3m=2解得 m1=2，m2=1(不合题意，舍去)。 因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形。 ②设直线PF与x轴交于点M， 可得OB=OM+BM=