分数阶p-Laplacian系统两点边值问题的解.pdfVIP

高校应用数学学报 2014，29(3)：343—351 分数阶 —Laplacian系统两点边值问题的解 孔祥山 ，李海涛 (1．青岛滨海学院 大专理科基础学院，山东青岛266555 2．山东大学 控制科学与工程学院，山东济南250061) 摘 要：利用Schaefer不动点定理研 究了分数~p-Laplacian系统两点边值问题解的存 在性，通过将 系统转化为算子方程，在非线性项满足一定增长性的条件下得到了系统 至少存在一个解的充分条件，并给出了相关的应用． 关键词：分数~p-Laplaciang统；两点边值问题；Schaefer~动点定理 中图分类号：O175．6 文献标识码：A 文章编号：1000—4424(2014)03—0343。09 §1 引 言 分数阶微分系统广泛地存在于自然科学与工程技术的诸多领域f11，如流体力学的流变性质 描述、各种材料的记忆、地震分析、分数阶PID控制、金融系统和粘弹性系统的分析等等．与 整数阶微分方程相比，分数阶微分系统能够更加准确地描述 自然现象，更好地模拟 自然界的动态 演化过程．例如，用整数阶微分方程不能描述许多复杂的热传导现象、渗透现象等，而用分数阶 微分方程就能简单地予以解决．近年来，对分数阶微分系统解的存在性的研究已取得了许多优 秀的成果2[-11】． 作为一类重要的微分系统，p-Laplacian微分方程边值 问题在流体力学、天文学等领域 有着重要的应用 【J．因此，该问题 引起 了很多学者的研究兴趣．值得指出的是，现存的研 究p-Laplacian微分方程边值 问题的文献大多集中在整数阶微分系统1【3-14】，而对于分数阶p- Laplacian微分方程边值问题的研究结果还很少6【J．在文献[61中，作者利用不动点定理研究了一 类分数阶p-Laplacian微分方程反周期边值问题，得到了至少一个解的存在性判据．文献[8】研究 了一类耦合分数阶p-Laplacian微分方程两点边值问题，利用叠合度理论得到了该类边值问题一 个解的存在性条件．在文献f91中，作者利用叠合度理论得到了一类非线性分数~}p-Laplacian微 分方程多点边值问题解的存在性条件． 本文研究如下p-Laplacian微分方程两点边值问题 ， ^ ／ ＼ J ( x(t))=f(t，(t))，t∈[0，1]， … 【x(O)= (1)，D x(o)=叩D (1)， 收稿 日期：201~01．27 修回日期：2014-07-09 基金项目：国家自然科学基金( 344 高校 应 用数 学 学 报 第29卷第3期 其中 (s)： 。s，p1，：刍+1-1j。 1,1oz+2,7,7／≠0j1，。 是Caputo分数阶导数，f：[0，1]XR—R连续．在文献[6]的基础上，利用schaefer不动点定理来 研究系统(1)解的存在性．注意到当 =卵=一1时，(1)退化为文献[6】中的反周期边值问题．因此， 本文的结果更具一般性，推广和改进了文献[61的结果，丰富了分数阶 Laplacian系统的研究方 法和结果．最后，给出一个数值例子来验证所得结果的有效性． §2预备知识 本节给出分数阶微积分理论的一些基本定义和引理，详见文献[7】． 定义2．1 函数Y：(0，+。。)_R的 阶Riemann—Liouville分数阶积分为 珥 )=丽1 ( ~-ly(s)dsj 其中 0，r(＆)= o。e-tt一 为Gamma函数． 定义2．2 连续函数Y：(0，+∞)一R的 阶Caputo分数阶导数为 咖㈤=志 其中 0，礼为大于或等于 的最小整数． 引理2．1 若 0，YE [0，1]，则存在 ER，i=1，2，… ，