分数Brown运动驱动带Markov切换的随机微分方程解的密度存在性.pdfVIP

孙晓斌等：分数 Brown运动驱动带 Markov切换的随机微分方程解的密度存在性 注意到 三 ，t∈ ，+1)，因此，对任意固定的时间t0，我们有 = 妻厂 (X8~OZ-rk k=0dr~At 上式右边除了有限项外均为 0，积分 ( ，(trk)dB 可理解为按轨道定义的Riemann—Stieltjes 积分，即可表示为用分数型分部积分公式表示的Lebesgue积分 (参见文献 f11)． 带 Markov切换的随机微分方程已经被很多学者所研究 (参见文献 2【，3】及其相关的参考文献)， 然而，这些文献考虑的噪声都是经典的Brown运动噪声．就我们的知识而言，关于这个模型还没有研 究驱动噪声是分数Brown运动的情形．本文主要研究方程 (1．1)解的存在唯一性，并在扩散系数 (．) 非退化的条件下，证明解的分布关于Lebesgue测度的绝对连续，即方程 f1．1)的解存在密度． Malliavin分析是研究随机变量的分布密度存在性和光滑性的有力工具之一，虽然关于分数Brown 运动驱动的随机微分方程，文献 [4～7】已经研究了其 Malliavin分析及其性质，但是对含有 Markov切 换的随机微分方程 (1．1)，研究其Malliavin分析及其性质是一个新问题，其困难在于Markov切换项的 出现．根据 和 OZ的独立性，受文献 [8，9】的启发，我们构造概率空间 (Q1，舅 ，p1)和 (2， ，2)， 并在乘积空间 (Q， ，P)：=(Q1×Q2， × ，p1×p2)上定义和研究 Malliavin分析，具体做法是引 入条件 Malliavin分析 (参见文献 8『，9])． 本文的结构如下：第 2节引进一些符号和假设，并给出方程 f1．1)解的存在唯一性；第 3节研究方 程 f1．11的Malliavin分析，并获得其解密度的存在性． 2 解的存在唯一性 对任意固定的T0，记 2【1=co(0【，T]； )为所有区间 [0，T]上初值为 0的连续函数全体．对固 定 H ∈(1／2，1)，则存在 Q1上唯一的概率测度P1，使得在 p1下，坐标过程 (1)= 1()，t∈[0， 是一个 Hurst参数为 日的 d_维分数 Brown运动．记 为 Q】上 Borel 域关于概率测度 P1的完 备化，{ (t))fo≤≤T 为 {B ，t∈0[，】)的自然 域流．记 (Q2， ， (￡)，p2)为另一个完备带流且 满足通常条件的概率空间，使得 { ，t≥0)为此概率空间上 S一值 Markov过程．在带流乘积概率空间 (，玩 ， ，)：：(Q1×Q2，巩 (t)× (t)， × ，p1×P2)上，定义B ()=Od1(t)和 Olt()=Olt(2)， 则随机过程 Bt与Oz相互独立．记 E和 E】分别表示关于概率测度 p和 p1所对应的数学期望． 对于 ∈N，记 (n×s；n)是 n×s上关于第一变量 k．次连续可微且直至 k阶导数都有界 (对任意给定的 ∈s)的 n．值函数 f(x，OZ)的全体，v f(x，)为 ，关于 的k一阶导数．对于任意 的0≤ab≤T，70，定义 C (n『，61；n)为所有 ．HSlder连续函数 f：a【，b]_÷ “的集合．对于 X∈ n和 ∈ n×Rd，定义 ： ( )V。， ( 、) 、 ~-- h ,4-- 一 ． 一 i 1 11 本文假设函数 6(．)和 (．)满足以下条件 (H1)b，Oi∈c (Ⅱ ×s；Ⅱ)，i=1，… ，d； (H2)存在正常数C和 击一1使得