函数周期性和最小正周期存在性的几个定理.pdfVIP

维普资讯 2003年 9月 阜阳师范学院学报 (自然科学版) September2003 第2o卷第3期 JournalofFuyangTeachersCollege (NaturalScience) Vo1．2O．No．3 函数周期性和最小正周期存在性的几个定理 赵克全 (亳州师范高等专科学校 ．安徽蒙城 233500) 摘 要 在文 [】～7]的基础上进一步探讨了函数的周期性及最小正周期存在的充分条件。 关键词 无界 ；周期函数 ；最小正周期 分类号 0】7l 文献标识码 ：A 文章编号 ：lOo4—4329(2003)03—67--03 周期函数是一类非常重要的函数，本文在文[1～ 7]的基础上进一步探讨 了函数的周期性及最小周期存 在的条件 。 定义 1 设 厂定义在数集 D上的函数 ，若存在 0，使得对一切 z∈D有 f(x± )一厂(z)，则 f称 为周期函数 ，称为 厂的一个周期 。 定理 1 若 厂为定义在数集 D上的周期函数，其周期为 71，则数集 D必为无界区域 。 证明 不妨设D为上界的数集，由确界存在公理可知D必有上确界 口，即对Ve0，jX ∈D，使 口一 eX a 日+ e，对于常数 丁 0，由e的任意性可知 +丁 口，X +T D，这和题设相矛盾，故数 集 D必为无 集 。 如 厂(z)一 sinx，z-∈ [一 2丌，2丌]和 (z)一COSX，z∈Eo，+o。]等都不是此定义下的周期函数。定理 1是函数 的周期性存在 的必要条件 。 定理 2_2] 非常值连续周期函数一定存在最小正周期 。 定理 3 若 为 厂(z)的最小正周期 ， ( 0，为正整数)为其一个周期 ，则必存在正整数 ，使 一 7 。 证明 ( Ⅱ)假设对 lf任意 整数 ，都有 ≠ ，于是 ，对于正整数m ，有m ≠m ，取 一 ， 则有 ，z≠m ，这就是说 不是 的整数倍 ，这和函数的周期与最小周期的关系矛盾，故假设不成立。 定义 2 (z)一fEf一(z)]，≥2，f (z)一厂(z)，f (z)的定义域 由f (z)、f。(z)、…、 ～(z)定义域 的交集来确定 ，并称 (z)=fE 一(z)]为对 厂(z)的 次迭代 。 定理 4 设 厂(z)为定义在 D上的函数，若存在函数F(z)(F(z)≠z)及满足F (z)一z的最小的 自然 数 且存在 0，使得 ( + )一 F(厂(z)) 成立，则函数f(x)是周期函数， 为其一个周期 。 证 明 由已知，对任意 ，有 f(x+ )一F(厂())，且 F (-z)一 IF[…F(z)]}一 z所以 ／(_’十，z)===F(厂[ + (一 1)]) 一 F(F(／[ + ( 一 2)]}} 一 … F (厂(z))一 厂(．2-) 敝，由周期函数定义可知，函数 f(x)是周期函数 ， 是其一个周期 。 收稿 日期 ：2003—03—29 作者简介 ：赵克全 (1965一)，男，安徽蒙城人．毫州师专高级讲师。 维普资讯 68 阜阳师范学院学报 (自然科学版) 第2O卷 例 1 求 (z)一 COsxsin2x的周期 。 解 由于 ，(z)：COSxsin2x，以X+ 丌代 X得