出生率与年龄段有关的生灭分枝树.pdfVIP

王汉兴等：出生率与年龄段有关的生灭分枝树 2 模型描述 设一种群是 由不同生物个体 f节点)组成的网络，该网络演化基于如下基本假设条件： f11该种群中各个节点是同质且相互独立的； f21常数 0表示该种群节点的死亡率； (3)将节点年龄按照出生率分为 M 个年龄段 『一1，Sm)，1≤m ≤M，其中 0=SoS1… SM一1SM=+。。，常数 0，1≤m≤M，表示节点在年龄段 [ 一1， )的出生率； (4)任一节点在活着的条件下，它在未来不同时段内的繁殖行为是条件独立的； (5)任一节点在活着的条件下，在未来时段内死亡和繁殖行为是条件独立的； (6)除了初始节点外，一个节点属于该种群当且仅当存在唯一一个属于该种群的节点为其父节点； (7)在 t=0时刻，该网络当且仅当有一个初始节点 (该条件并非本质的，只是为了叙述的方便)． 基于上述基本假设条件，出生率与年龄段有关的分枝树演化模型叙述如下．设 i是网络中任一节 点，在 (≥0)时刻其年龄为 s≥0，m，1≤m≤M，使得 s∈【一1，s)，对充分小的At0，节点 在活着的条件下，于 [t，t+At)时段内死亡的条件概率为aAt+o(At)，于 t【，t+At)时段内生产 1个 子节点的条件概率为 At+o(At)，而生产多个子节点的条件概率是o(At)．在该网络中，如果J是 i 的子节点，则称在 i和 J之间存在一条从始端 i指向终端J的有向链边．当父、子节点都活着时，则它 们之间的链边为有向实线链边，当父、子节点中至少有一者死亡时，则它们之间的链边为有 向虚线链 边．死亡节点，称为虚节点，否则为实节点 (用虚线圆表示虚节点，而用实线圆表示实节点)． 如此，在 t≥0时刻，由节点 (实节点和虚节点)和有 向链边 (实的和虚的)构成一个有 向随机图 (树)G (．)，而节点的繁衍过程即是一个随机图过程 {G (．)，t≥0)．该模型，其出生率与年龄段有关而 死亡率与年龄段无关，简称为出生率与年龄段有关的生灭分枝树，记为 fGt(； ，1≤r≤M)：t≥0)． 注 1 模型 {Gt(； ，1≤r≤M)：t≥0)的一个特款是 {Gt(，)：t≥0)，其出生率不依赖于 年龄段、是一个常数的情形．此时，模型 {G (，)：t≥ot是一个 Markov随机树过程，即取值为树 f一个孤立节点也视为一个树)的Markov链；在 t时刻活着的节点数 z(t)是一个非负整值随机变量， 且 fz()：t≥0 是一个线性生灭过程．然而，取值为树的随机过程 {G (＆； ，1≤r≤M)：t≥O)不 是Markov过程；而且在 t时刻活着的节点数不构成一个生灭过程，也不是Markov的．但是，通过扩 维状态空间，可以证明扩维后的过程是个 Markov过程，而 fGt(； ，1≤r≤M)：t≥0)是其边沿过 程 即有下面存在性定理． 由模型的定义知，Vt≥0，在 (0，t1时段 内出生的子节点数是有限的，且在同一时刻不会 同时出生 两个或两个 以上的子节点，所 以，初始节点 (规定它为节点 1)以及它的所有后代节点依出生时刻的先 后顺序可以编号为 1，2… ．，n… ． Vn≥1，记 = (1，2… ．，礼)； ，(n)=(，l，f2，… ，^)：fl=0，1≤fk≤k一1，2≤k≤n； ， (n)=(il，i2，… ，in)：ik∈{0，1}，1≤ 一≤瞩一 b(n)=(bl，b2，…，bn)：6t∈R．+，1≤i≤n且0=blb2 ···bn， 其中，是节点标号向量；厂(礼)是节点问的邻接关系 (父子关系)向量；J1=0表示初始节点无父节点； = J，1≤J≤ 一1表示节点J是节点 的父节点，2≤ ≤n；虱礼)是节点的生死状态向量：ik=1 表示节点 k活着，i=0表示节点 已死亡，1≤ ≤他； 礼)是节点出生时刻向量：b1=0表示在 0 中国科学 ：数学 第 43卷 第 4期 时刻有一个初始节点，bj表示第 J个节点出生于时刻 bj，2≤J≤n，b1b2… b 表示在 同一时 刻没有两个或两个 以上的节点出生． 记 = {厂(佗)：厂(礼)满足(2．1))， ={n)