函数逼近与FFT.pptVIP

第三章函数逼近与FFT 本节内容 有理逼近 举例 Pade 逼近 三角多项式逼近 最佳平方三角逼近 三角多项式逼近 最小二乘 三角插值 DFT DFT DFT DFT/FFT * * 计算方法 —— 有理逼近、三角函数逼近与FFT 有理函数逼近 有理逼近与连分式 Pade 逼近 三角函数逼近 最佳平方逼近 最小二乘 FFT（快速 Fourier 变换） 用有理函数来做函数逼近 有理逼近 若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可能会取得较好的逼近效果 例： Taylor 展开 连分式 ex35.m 设 f (x) 的Taylor 展开为 部分和记为 Pade 逼近 设 f (x) ? CN+1(-a, a), N=m+n, 若有理函数 其中 Pn(x) 与 Qm(x) 无公因式，且满足 则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近 k = 0, 1, …, N 在 [0, 2?] 上带权 ? (x)=1 的正交三角函数族： 1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… 三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近 三角多项式逼近 设 f (x) 是以 2? 为周期的平方可积函数，则可利用上面的三角函数族对其进行数值逼近。 f (x) 以 2? 为周期且平方可积，则其在 [0, 2?] 上的最佳平方三角逼近为 最佳平方三角逼近 ( k = 0, 1, … , n-1 ) ( k = 1, 2, … , n-1 ) 其中 当 n 趋于无穷大时，Sn(x) 即为 f(x) 的 Fourier 展开 结论 若 f ’(x) 在 [0, 2?] 上分段连续，则 若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中 则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1) ( k = 0, 1, … , n-1 ) ( k = 1, 2, … , n-1 ) 其中 n m 三角插值 当 n=m 时可以证明 故 Sn(x) 为 f(x) 在点集 x0, x1, ?, xm 上的三角插值 ( j = 0, 1, … , 2m ) 考虑在 [0, 2?] 上带权 ? (x)=1 的正交三角函数族： 这里的 i 是虚部单位 则 在 处的函数值为 离散正交 则 f(x) 的最小二乘 Fourier 逼近为 (n ? m) ( k = 0, 1, … , n-1 ) 其中 设 f (x) 以 2? 为周期的复函数，给定函数值 ( xj, yj )，其中 离散 Fourier 变换 当 n=N 时，Sn(x) 即为 f(x) 在 x0, x1, ?, xn-1 上的插值函数 ( j = 0, 1, … , N-1 ) 离散 Fourier 逆变换 令 构造矩阵 性质 (1) 性质 (2)