几何与代数_5.3.pptVIP

一. 实对称矩阵的性质 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 二. 实对称矩阵的正交相似对角化 通常，实矩阵的特征值不一定是实数。 比如： 实对称矩阵的特征值均为实数。 1. 复矩阵的共轭矩阵 设A = (aij)m?n, aij?C， A的共轭矩阵。 则称A = (aij)m?n为 共轭运算的性质： (1) kA = k A ; (2) AT = ; (3) AB = A B; 实对称矩阵 一. 实对称矩阵的性质 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 2. 性质5.1. 实对称矩阵的特征值都是实数。 证明: ? ? ? = (a1, …, an)T ? Cn， ? (???)? T? = 0 ? ? ? TA? ? ? T?? = ? ?? T? = ? = ? TA T? ? ? = (A? )T? = ?? T? ? ? = (A? )T? ? ? ? T? = a1a1 + …+ anan 0 ? ? ? ? ? ??? = 0 则存在非零复向量 设复数?为实对称阵A的特征值， 满足 A? = ??。 说明1. 实特征值对应的特征向量可以是实向量。 此外, ?1T A?2 = ?1T AT?2 = (A?1)T?2 = ?1?1T?2 , 于是(?1–?2)?1T?2 = 0, 从而 ?1TA?2 =?1T(?2?2) = ?2 ?1T?2 证明: 设?1??2，??1, ?2 ??，满足A?1=?1?1，A?2=?2?2 但是?1 ??2, 故?1T?2 = 0， 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量 ? ? ? 3. 性质5.2. 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交。 即?1,?2 = 0。 Th5.4. A对应于不同特征值的特征向量线性无关。 1. 定理5.7. 对于任意n阶实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得Q–1AQ = QTAQ = ? = diag(?1, ?2, …, ?n)。 其中?1, ?2, …, ?n为A的全部特征值， Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A的分别对应于 ?1,?2, …, ?n的标准正交特征向量组。 二. 实对称矩阵的正交相似对角化 2. 推论. n阶实对称矩阵A的ni重特征值有ni个线性无关（进而正交）的特征向量。 （用数学归纳法证明，略） 3. 计算步骤： 求|?E–A| = 0的根，得到所有特征值?1, ?2,…, ?s 注1. 矩阵Q中特征向量与特征值的顺序相对应。 实对称阵正交相 似 对 角 化 对每个?i，求(?iE–A)x = 0的基础解系 ?i1,?i2,?,?it 用施密特正交化方法将?i1,?i2,?,?it 正交化、单位化，得到标准正交特征向量?i1, ?i2,?, ?it 则Q–1AQ = QTAQ = ? 令Q = (?11, ?12,?, ?1t , …, ?s1, ?s2,?, ?st ) ?=diag(?1,…, ?1,…,?s,…, ?s) 例1. 将 正交相似对角化。 解: 由|?E–A| = (?+2)(?–4)2， 取?2= ?2， 将?2, ?3正交化， (4E–A)x =0的基础解系?2=(1, 1, 0)T，?3=(2, 0, 1)T 得?1= –2，?2, 3=4； ?1= –2时， ?2=4时， (–2E–A)x =0的基础解系?1= (–1, 1, 2)T 得?2= ?2、 ?3=(1, -1, 1)T 将?2, ?3正交化， 再单位化，即得正交矩阵： 注2. 正交矩阵Q不唯一，如选?2= ?3，可构造不同Q。 注3. 重根时可以直接用观察法求正交特征向量。 例2. 设3阶实对称阵A的特征多项式为(?–1)2(?–10)，且?3 = (1, 2, ?2)T是对应?=10的特征向量，求A。 解: 令?1,?2为对应于?=1两个正交的特征向量 解法1. 将正交向量组?1, ?2, ?3单位化得正交矩阵 因为?1,?2都与?3正交，可取为?3Tx = 0的基础解系 ?1=(0, 1, 1)T，?2 =(4, ?1, 1)T Q = 设? = 由QTAQ=Q?1AQ=?可得A = Q?QT = 对称 正交相似对角化 令P = ? = 由P?1AP=?得 A = P?P?1 = A = 相似对角化 例2. 设3阶实对称阵A的特征多项式为(?–1)2(?–10)，且?3 = (1, 2, ?2)T是对应?=10的特征向量，求A。 解: 令?1,?2为对应于?=1两个正交的特征向量 因为?1,