关于尺规作图的问题.pdfVIP

维普资讯 第25卷 第3期 嘉应学院学报(自然科学) V01．25 No．3 2007年6月 JOURNALOFJIAYINGUNIVERSITY(NATURALSCIENCE) Jun．2007 关于尺规作图的问题 李 雪 贲 (广东交通职业技术学院 ，广东 广州，510650) [摘 要]明确阐述了尺规作图的基本准则，并介绍了一些有关尺规作图 “可能”及 “不能”的问题。 [关键词]限用；尺规 ；作图；可作；不可作 [中图分类号]G633．63 [文献标识码]A [文章编号]1006—642X(2007)03—0020—03 限用圆规直尺作图问题，一直引起无数数学家和数学爱好者的浓厚兴趣，特别是几何三大作图难 题。所谓三大几何作图难题是指三等分任意角、化圆为方以及立方倍积。解决这些乍看起来似乎并 不困难的问题，竟然经历如此漫长而又艰难的岁月。二千多年来，曾有无数人将 自己的聪明才智倾 注在这些难题上，但未得到丝毫结果，其原因就是缺乏一些新的工具。直到伽罗瓦 (E．Galois)等人 创立了群、环和扩域理论以及数论中相关理论的进展，这些长期折磨着人们的难题才一一迎刃而解。 伽罗瓦(E ·Calois)…基本定理：设E／F为一个有限伽罗瓦扩张，G=Gal(E／F)则 (1)在G的子群集 {H)和E／F的中问域集 {Iq之间存在一个一一对应。让每个子群H对应于它 的不动域：H—Inv(H)，让每个中间域K对应于E对K的伽罗瓦群：K—cal(E／F)。于是它们互为逆 映射，即Cal(E／Inv(H))=H，Inv(Gal(E／F))=K； (2)上述一一对应是反包含的，即H H2营Inv(H1) Inv(H2)； (3)由数量关系：[E：Inv(H)]=IHl，[Inv(H)：F]=[G：H]； (4)若子群H对应于中问域K，则 H的共轭子群crHcr 对应于K的共轭子域 (K)， ∈G； (5)设子群H对应于中问域K，则 H是G的正规子群当且仅当K／F上是伽罗瓦扩张。 1 尺规作图的基本准则 因为尺规作图所说的直尺是没有刻度的，直尺只能用来画直线，并且要求作图必须在有限步完 成。所谓初等几何图形指的是能限用圆规直尺经有限步作出的平面几何图形。根据圆规直尺的功 能易知，初等几何图形必定是由点、线、圆弧和角度构成的。直线由线上任意两点决定，圆弧由它上 面的任意三点决定，角度由其顶点和两边上各取一点决定，所以归根到底，初等几何图形必可通过点 的构作画出来。 2 基本准则 ：尺规作图的 “可能问题 在中学课本中介绍了画线段、画角、画垂线、画垂直平分线、画角平分线等5种基本的尺规作图 法。我们也做过很多作图题，即用圆规和直尺作出符合要求的几何量或几何图形，如任意等分一条 线段、等分给定的任意角、全等图形……等等，事实上作平面几何图形是依据这 5种基本图法来进行 作图的。例如作一边长为 的正四边形：步骤 (1)作一线段AB=L；(2)经线段两端A、分别作AB 的垂线 、Ⅳ；(3)用圆规量取AB长为半径，分别以A、 为圆心在垂线 、Ⅳ上画弧 (在线段AB同 [收稿 日期]2007—03—26 [作者简介]李雪贲(1963一)，女，广东清远人，讲师，主要研究方向：数学教学法。 一 20— 维普资讯 侧)，并相交于D、C两点。(4)连接 cD，则ABCD为正四边形。 在欧几理得 “几何原本”的第五章上提到过如何用标尺做正三角形、正四边形、正五边形、正六边 形和正十五边形，而经由做角平分线的方法，对正3、4、5、15边形都能够做得出来 ，虽然这是公元前 就发现的作法，但是一千多年过去了，没有人能够确定是否有其它正多边形可以做出来或是做不出 来。直到 1796年，德国数学家高斯 (Gauss)以他 19岁的年纪做出重大的突破，大学二年级时得出正 十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作f~tiE多