关于函数最大值与最小值问题的一个定理n.pdfVIP

1990@ 德州师专学报 (自然科学版) 第2期 关 于 函数 最 大 值 与最 小值 问题 的一个 定理 陈武诚 王国胜 提耍t本文的定理给 出了定叉在区问I上的连续函数f(X)在x ∈I取最大值 (最小 值 )的一个充分条件．应用该定理厦其推论解决莱些函数 的最大值 (最小值 )问题是非 常方便 的． §l 弓J 言 我们知道，对 [a，b]上的连咎函数f(x)来说，一定存在最大值和最小值．只要 求出(a，b)内所有f(x)的极大值 (极小值)，然后与f(a)及f(b)比较，取其最 大者 (最小者 )，就是f(x)在 (a，b]上的最大值 (最小值 )了．文 一 中有 如 下的 结论 ． t “特殊地，如果在闭区间 (a，b)上的连续函数f(x)在区间内只有一个可能的极 值点，并且函数在该点确有极大值 (或极小值 )，则木必再与端点的函数值比较，就可 x’一2的根，由定理4，Q( — ={a +a：之／— +n之／T ．+a之／ 一+a之， +a。， +a。，—丽一{a。，… c∈Q)是数域．可以想见，用验证的方法’或用 i ● — — — 一 ● 定理3证明Q (。／2 )这类数集是数域之困难． 应当指出，有许多数域，如 Fl=tao+a1+…+aⅡ ／bo+b1+…+bmnmIao，…，am，b0，’…，bⅡ为 整 数， m，n为任意非负整数)．用定义1可以验证F是数域，怛无法用定理3、定理4和定理5 来证明F是数域．对此，本文不再深入讨论． 参 考 文 献 [1]张乐瑞、郝丙新．高等代数，高等教育出版社，1984． [2]北京大学数力系．高等代数，人民教育出版社 ，1978． (3]贺昌亭．高等代数，辽宁人民出版社，．1983． [4]杨子胥．高等代数习题解，山东科技出版社，1987． · 12 · 断定这就是函数在所给闭区问上的最大值 (或最小值 )了．所讲的结果对于开区问及无 穷区同也是适用的．在应用问题中往往遇着这样的情形，…… ． 显然，上述结论对解决某些函数的最大值 最小值 )问题是很方便的．另外，把以 上结果推广到开区间及无穷区间还有一层意义；它给L出了开区间及无穷医问上的连续函 数存在最大值 (最小值 )的一个判据． 该结论的正确性从直观上容易想象．但作为定理来用，则需要严格的理论证明，然 而，这项工作是作者所知文献中没有见到过的． §2 定理及推论 定理 设 函数f(X)在区问I上连续，在I内只有一个极值 点xo．若f(x)在x。取 极大值 (极小值 )，则f(xn)是f(x)在I_L的最大值 (最小值 )． 证 明：仅就f(x)在xo取极大值情形来证明 (对于f(x)．在xo取极小值情形，可类 似证出)．分两种情形． 1。 I= [a，b] 用 反 证 法．若f(xo)不 是f(X)在 [a，b]上的最大值，因为 (矗1，b)内极 j ● ● ● ● 值点唯一，故最大值只能在端点取得，即只 有 两 种 可 能；f(Xo)f(a)或 f(xn) 寸 f(b)．不失一般性，假定f(xo)f( ) (如图1)．由于f(xn)为f(x)的 极 大 值，所以在xn的右侧附近总可找到一点x．， x。x b，使 f(x)f(xo)．即f(x ) 髓1 f(xo)f(b)．因为f(