专题14：导数与积分(学生用).docVIP

11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数. (Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性; (Ⅱ)当时,证明. 12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）当时，（I） （II）恒成立，求实数的取值范围。 15．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.设函数,,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论. 16．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设函数(其中).(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值. 17．（2013年高考江西卷（理））已知函数,为常数且.(1) 证明:函数的图像关于直线对称;(2) 若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;(3) 对于(2)中的和, 设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性. (2)解:当时,有 所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点. 当时,有 所以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点. 当时,有 所以有四个解,又, ,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求 的取值范围为. (3)由(2)得, 因为为函数的最大值点,所以或. 当时,.求导得:, 所以当时,单调递增,当时单调递减; 当时,,求导得:, 因,从而有, 所以当时单调递增. ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.【答案】 19．（2013年高考四川卷（理））已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间; (Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值; (Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围. 【答案】解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为,由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有.当时,对函数求导,得.因为,所以,所以.因此当且仅当==1,即时等号成立.所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1 当或时,,故.当时,函数的图象在点处的切线方程为,即当时,函数的图象在点处的切线方程为,即.两切线重合的充要条件是由①及知,.由①②得,.设,则.所以是减函数.则,所以.又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 20．（2013年高考湖南卷（理））已知,函数. (I)记求的表达式; (II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ) (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且. 不妨设 所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数 (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的极值.【答案】解:函数的定义域为,. (Ⅰ)当时,,, , 在点处的切线方程为, 即. (Ⅱ)由可知: ①当时,,函数为上的增函数,函数无极值; ②当时,由,解得; 时,,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. ．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==, 有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2≤0,∴当时,0,当时,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (3)若,则==0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,]. ．（2013年高考湖北卷（理））设是正整数,为正有理数.