不定积分与定积分第二类换元法的讨论.pdfVIP

第 24卷第 4期 高等函授学报 (自然科学版) Vo1．24No．4 2011年 8月 JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) 2011 · 大 学教 学 · 不定积分与定积分第二类换元法的讨论 高大维 冯世强 崔宇 陈友军 。 (1．中南大学 地球科学与信息物理学院，长沙 410083；2．西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637002) 摘 要：通过对不定积分与定积分第二类换元法的两种形式进行比较，以题为例着重探讨 了 不定积分与定积分第二类换元法在解题 中的联系与 区别。 关键词 ：不定积分 ；定积分 ；第二类换元法；联系；区别 中图分类号 ：073 文献标识码 ：A 文章编号 ：1006—7353(2011)O4一OO2O—O3 一 元 函数积分学主要解决两个 问题 ，一个是 lf(x)dx= If((￡)) (￡)dt。 已知一个 函数求原函数问题，这是不定积分的计 J d J 教材脚注：当 (￡)的值域超 出了区间 [n， 算 ；另一个问题是定积分的计算问题 。换元法 (尤 其是第二类换元法)是解决这两类计算 问题的一 6]，定理的结论仍然有可能成立。因为只要 一 (￡)的值域包含在被积 函数 厂(z)的连续范 围 个重要方法 ，现行的 《高等数学》、《微积分》教材中 关于不定积分和定积分第二类换元方法 的表述 内，并且在区间端点有 (a)一 口和 ( —b，定 如下 ： 理的证明照样能满足 。 3 两种换元法的联 系与区别 1 关于不定积分的第二类换元法 设 X一 (￡)是单调 、可导的函数 ，并且 () 3．1 不定积分与定积分换元法条件的 区别 ≠0，又设 ，[(￡)] (￡)具有原函数，则有换元公 在不定积分换元法的最后一步，要用变换 z 式 一 (￡)和逆变换 t一 ()还原变量 ，因此所 引进的变换 = (￡)必须保证它的逆变换 一 j厂(z)dx一j『尢∽ ] ， ()存在 。这就要求 一 妒(在相应的区问 其中 ()是函数 一 (￡)的反函数 。此 上是单调 的。而且还原 以后 的函数 G( ()) 换元方法可用形式计算法书写如下 必须是可微的，为此必须要求反函数 (z)的导 If(x)dx I (￡)]咖(￡) 数 r ()]是存在的，这就要求变换 X一 () 的导数在相应的区间上不等于零 ，即 ()≠ 0。 = l尢 ()]妒(t)dt—G()+C 总之，只要我们在利用第二类换元法进行不 — G( (z))+ C 。 定积分计算时选择的变换 一 (￡)在 t的某一区 2 关于定积分 的换元法 问单调 、可微 ，导数连续 ，并且 (￡)≠0即可。而 设 厂()在区间 [n，6]上连续 ，z一 ()在 在定积分的换元法中则不要求变换 X一 ()在