不定积分的被积函数线性组合化及降幂的积分原则.pdfVIP

第 5毒 第 4期 济南空通高等专科学授学报 v01．5No． ‘ 1997年 12月 JOURNAL OFJ1NANCOMMUNICATIONSCOLLEGE D ．1997 不定积分的被积函数线性组合化 及 降 幂 的积 分 原 则 尹金生 (基霉I部) 摘 要： 从不定积分的线性运算性质出发，给出了计算不定积分的被积函 数线性组合化 、降幂的积分原则 ，并结合 实侧分析 7这一原剐在不定积分计算 中 的指 导作用。 关 曼型 墨些丛 墨 暑 童赶 前言 不定积分是高等数学中的一个重要 内容，关于不定积分的计算，由于积分方法较多， 各种积分方法的使用也非常灵活，积分过程中若缺少一种指导思想和解题思路，将给学生 学习掌握不定积分带来了一定的困难 。 根据多年的教学实践，本文提出了贯穿于不定积分计算始终的一个积分原则，即被积 函数线性组合化、降幂的积分原则。这一积分原则的提出使许多不定积分的计算问西有了 一 个明确的思路 。 1 不定积分的线性运算性质 定义 1 设 (z)， (z)是两个连续函数 ， ， 是两个任意实数，则称表达式 k,f )+ )为函数 )， )以 ，：为组合系数的线性组合 。 由不定积分的运算性质： J．(z)+g(z)]如= (z)dx+fg()如 )dx=kff(z)出(是常数) 得 出 ·收稿 日期 1‘~97--04—25 第4期 尹盘生一不定祝分的镀j盹孟鼓线性组合化厦降暮的祝分碍cJ时 5l 』[，l()+：)]如=』)dx+k：』()如。 该式说明函数 )，^ )以k，k为组合系数的线性组合的不定积分等于 ，1(z)， ()不定积分的相应系数的线性组合，可简述为函数线性组合的不定积分等于其不定积 分的线性组合。不定积分 的这种线性运算性质，决定了不定积分运算是一种线性运算，郎 运算 “J是一个线性算子． 2 计算不定积分的被积函数线性组合化 、降幂的积分原则 定义 2 设 ，(z)， (z)， )均是连续函数，k。，kt是两个任意常数，若 ，()一 f )+ ，2 )，则称 ，()可表示为 ()， (z)的线性组合，或称将函数 ， )线性 组合化 由于不定积分的运算是一种线性运算，所 以计算不定积分时 ，被积函数幂次越高越难 计算，被积函数的非线性运算形式 (如乘积、乘方、开方等)就不如被积函数的线性运算形 式 f (z) (z)容易计算出不定积分，这就要求我们在计算不定积分时，要遵循一十 被积函数降幂、线性组合化的积分原则。 3 实例分析 例1求f_‘如。 分析：被积函数， )一 __，直接计算积分有困难，需将被积函数，(z)线性组台 化。事实上 ，我们有 )= 一 l￡= 2 ±2± 1+ z 一 l+与， 进一步利用不定积分的线性运算性质就可求出积分结果。 r ‘ r 1 解J南 如 J 一1+南 )如 = z一 +＼ 1 一 z+酊 c￡gz+C 例 2 求 。 。 分析 ：被积函数 ，()一C0$ ，这里的 4次方是一个非线性运算形式，需将其降幂转化 挤甫文通商等专科学拄学捏 1997年 l2月 第 5誊 为线性运算形式。我们有