一道关于三角形内接矩形问题的推广及应用.pdfVIP

14 中 等 数 学 一 道关于三角形内接矩形问题的推广及应用 刘 洋 朱 华 伟 (1．广州大学计算机科学与教育软件学院2011级研究生，510006 2．广州大学计算机教育软件研究所，510006) 中图分类号：O123．I 文献标识码 ：A 文章编号：1005—6416(2014)03—0014—02 1985年第46届普特南数学竞赛A试有如下 以用不等式得到 一 道题 目． 题 目 如图 1，在一个锐角三角形 T中放入 ≤ ： ， 两个矩形R、S．设A()表示多边形 的面积．求 当且仅当口=6=c= 时，上式等号成立． 出 的最大值或证明最大值不存在． 故 的最大值为 ． 若在三角形T中只放入一个矩形R，求 — ，1 』， 的最大值，就等价于一个很常见的问题：如何在三 角形中裁得面积最大的矩形． 事实上 ，当内接矩形的一边为三角形的中位 线时，内接矩形的面积最大，且最大值等于三角形 解 如图 1，设矩形 R、S的高分别为0、b，三 角形的高为h，底边所对顶点到矩形 S的距离为 面积的一半，即 的最大值为 ． c．贝0n+b+c=h． 在这两个问题的基础上进一步思考 ：若在锐 文献[1]中运用相似三角形把面积比表示成 角三角形中放入三个矩形，则三个矩形的面积和 ： A(T) 一h三(。b+。b一+)， 与三角形的面积比的最大值存在吗?如果存在， 最大值是多少呢? 然后再用局部调整法 ，先固定 。值． 接下来将上述题 目改编为： 贝0口6+6c+0c：口(h一0)+6c，且 b+c为定 命题 1 如图2，在一个锐角三角形 中放入 值．当b=c时，6c取得最大值． 三个矩形 、 、 ．设A()表示矩形 的面积． 于是，问题转化为在 0+2b=h的条件下求 2ab+b 的最大值． —In]：：————±等—一型阳的最最大但值存仔在仕吗?若右 将 0=h一2b代人得到关于b的二次函数 存在求出最大值． 一 36 +2bh． 配方知当n=6=c= 时， 取得 最大值÷． 评【注】求 (ab+bc+ )的最大值时，也可 0l