一道数学竞赛题证法的探究及推广.pdfVIP

上海中学数学 ·2009年第6期 一 道数学竞赛题证法的探究及推广 100026 北京市东方德才学校 李 慧 100028 北京市朝阳区中学教育研究中心 郭 璋 如图1，AABC内接于 o0， 证法 1：如图2，连接BD． ACBC，点D为ACB的中点，求 因为 A、B、C、D 四点 共 证 ：AD2一AC ·BC+CD2． 。 圆，所 以 DAC= DBC， 这是2005年天津市全 国初 又AD 等 于DCB，所 以 中数学竞赛天津赛区初赛的第 AD — BD． 14题 (压轴题)．它构图简单 ，已 图 1 在 ADAC与 ADBC 中， 图 2 知条件少 ，而要证 明的结论是 分 别 应 用 余 弦 定 理 ， 比较复杂的线段的乘积式，要证明它必须添加 COS C AD2上 ACz— CDz ，COS DBC 辅助线．如何添加辅助线?采用两种方法．其一 ， 2AD ·AC 对所给结论中的线段乘积式进行变形、转化 ，对 BD2+ BCz— CDz AD2+ 2一 CD —■ _一 一—— ■ -～’ 转化后的线段 的结构式进行探究，在探究的过 程 中添加辅助线 ，然后给 出证 明；其二 ，观察结 因为 BC ≠ AC，所 以 AD2一 AC ·BC + CD2． 论 中的线段乘积式 的特征 ，添加辅助线进行证 明．最后推广该竞赛题． 说明：用三角法证明几何题可以不加或少 加辅助线 ，并且思路简 明，只是代数式的运算． 一 、 原竞赛题的证法探究 分析 2：欲证 AD 一AC ·BC+CD ，可证 AD + CD AC 分析 1：由于结论 中的线段 AC、AD在三角 BC AD — CD ‘ 形ACD 中，线段 13(2、CD在三角形BCD中，很 自 把复杂 的线段乘积式转化为标准 的等积 然地要研究这两个三角形 的关系．而这两个三 式 ，又转化为 比例式 ，根据 AD+CD，AD—CD 角形 中很明显有两个角相等 ，故想到用余弦定 做出辅助线，再去找含有 比例线段的三角形，完 理证明． 成探究和证明． 只是 比第一种 的错误要隐蔽．“塞翁失马，焉知 输收效甚微，而适时朋友般平等赞扬却起到了 非福”，虽然 甲乙两位 同学做错 了，但他们独立 意想不到的效果 ．由此认为教师必须 由教学 中 思考 ，动脑 、动手的能力还是值得所有同学学习 的主角 向 “平等 中的主导”转化 ，才能实现真正 的，也让我们对基本不等式