一道问题征解引发的两个重要不等式及若干推广.docVIP

一道问题征解引发的两个重要不等式及若干推广 姓名：李德宝 作者单位：陕西省西乡县第一中学 邮编：723500 【摘 要】通过一道问题征集中不等式的证明探讨过程，结合贝努利不等式，探求出了两个重要的不等式及其若干推广． 【关键词】贝努利不等式；推广；应用 《中学数学教学且，求证：． 由于且，则有，故所求证不等式的左边即转化为，只需利用柯西不等式便得以求证：由于，则 当且仅当时，等号成立． 关键在于不等式右边的证明，即： ．通过对该不等式求证的探索，引发出了两个重要的不等式及若干推广． 引理1（伯努利不等式）设且，则（1）当时，；（2）当时，． 定理1任意的，当时，． 证明：不妨设，当时，取且使，则有．由伯努利不等式得，因而有，即：． 推论1任意，当时 证明：对用数学归纳法．当时，由定理1知不等式显然成立．假设当时成立，即．当时，故当时成立． 定理2任意的，当时，. 证明：当时，取且使，则有．由伯努利不等式得，因而有，即：． 推论2任意的，当时 ． 证明：对用数学归纳法，可仿照推论2的证明(这里不再给出)． 下面来看不等式的证明．要证 ，只需证明．由于，由推论1可得．并且可以看出原题中给出的条件在证明该不等式时是多余的．通过 的证明过程，再结合推论1，还可以得到以下两个更加一般的常见的推论． 推论3任意，当时． 证明：由于，且，则，故由推论1可得，因而有． 推论4任意，当时． 证明：结合推论2，可仿照推论3的证明过程（这里不再给出）． 【参考文献】 [1]赵思林、吴立宝. 贝努利不等式的几个推论及应用[J].福建中学数学，2009，2：5-6. [2]赵思林.贝努利不等式及推论解竞赛题 [J].数学通报，2008，47（11）：53-54. [3]邓永德. 贝努利不等式的推广及运用[J]. 四川职业技术学院学报，2005，15（4）：87. [4] 赵思林.贝努利不等式及推论解高考题举例[J].中学数学，2005，15（4）：87. [5]罗增儒．数学解题学引论(M)．西安：陕西师范大学出版社，2001． [6]华东师范大学数学系.数学分析（M）.北京：高等教育出版社，1981.